数学
数学家发现新的无穷大
在论文《大基数、结构反射与HOD猜想》中，揭示精确与超精确基数，挑战大基数线性层级及HOD猜想，为无限公理研究开创新思路。以下为论文概要。
我们提出了“精确基数”以及其加强版本“超精确基数”。这些自然的大基数可以等价地定义为弱形式的“秩伯克利基数”、强形式的“琼森基数”，或通过结构反射原则的定义。然而，它们挑战了关于无限强公理的常规直觉。
我们证明，“超精确基数”在存在I₀嵌入的假设下，与包含选择公理(ZFC)的Zermelo-Fraenkel集合论是相容的。然而，如果一个可测基数以下存在超精确基数，这将意味着ZFC与包含适当类I₀嵌入的一致性，从而挑战了大基数层级线性增量的传统观念。
我们还证明，精确基数的存在意味着宇宙V不等于HOD(即G¨odel的遗传性序定义集合宇宙)，表明这些基数超越了ZFC一致性下的大基数层级。此外，我们证明了在可延拓基数之上的精确基数的一致性可以反驳Woodin的HOD猜想和终极L猜想。最后，我们通过超越选择公理的某些大基数的一致性，建立了可延拓基数之上的精确基数与ZFC的一致性。
Scott的不一致性定理断言，理论ZFC+V=L(即选择公理加构造性宇宙等价于V的公理)与存在从V到某可传递类M的非平凡初等嵌入是不一致的。这种嵌入可由可测基数的存在导出。Keisler进一步证明，此类嵌入的临界点(即被移动的最小序数)必然是一个可测基数。
这些大基数是由Ulam提出的，其定义为具有一个完整κ完备、统一二值测度的基数κ。Scott-Keisler的证明显示，理论ZFC+V=L与从宇宙V的秩初始片段Vκ+1到某可传递集M的非平凡初等嵌入的不一致性。由此可见，某些大基数在定义上不可避免地与构造性宇宙的公理相冲突。
在本文中，我们提出了新的大基数——精确和超精确基数。我们证明，它们在包含I₀的假设下，与ZFC是一致的。这些新基数是兼容于V=L的弱大基数的直接类似物，但通过缩小初等嵌入的定义域，从某些不可兼容于ZFC的基数(如秩伯克利基数)演化而来。
我们证明，精确基数的存在意味着V≠HOD，进一步揭示了大基数层级中的第三条分界线。这一发现挑战了传统关于强无限公理的直觉，即所有此类公理都应兼容于V=HOD。此外，我们证明这些大基数公理以极端的方式与其他大基数公理互动，从而挑战了传统的线性递增图景。
Woodin提出的HOD猜想直观上认为宇宙V“接近”HOD。它断言，理论ZFC加“存在一个可延拓基数”能够证明所有足够大的正则基数在HOD中不是ω强可测的。我们展示了，结合精确基数与可延拓基数的公理，可否定HOD猜想。
最后，我们证明了超精确基数的存在与大基数的常规线性增量关系有所偏离，这种基数放大了其他大基数的效果，从而扩展了Woodin的Icarus层级。这些基数的发现及其特性引发了我们对大基数层级的深刻重新思考。