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分形：帮助我们理解世界的数学工具
分形图案或许你并不陌生，在电脑上经常能看到那些色彩缤纷、无限重复的精美图案，就像掉进兔子洞一样让人着迷。从数学角度来说，分形图案是指具有无限复杂细节的⾃相似结构，这些细节在不同的放大尺度下都惊人的相似。分形的几何特性让它成为一种强大的工具，帮助我们从多个层面理解这个世界。
首先，让我们来看看自然界中的分形图案。美国缅因州大西洋学院的 Dave Feldman 说：“分形图案无处不在，比如树木、山脉、河口等等。” 出现如此广泛的原因在于分形的生成方式非常简单，“反复折叠或分支等简单迭代过程就能产生分形图案。” 费尔德曼解释道。
分形图案不仅好看，而且实用。例如，我们肺部的内部结构就是分形的，这种结构能在较小的空间内容纳巨大的表面积。这就是进化论解决如何最大化吸收氧气的组织面积的办法。
然而，分形图案真正令数学家们着迷的原因却有些费解，它为探索数字世界提供了无限的可能。这就要说到分形维数的概念。在日常生活中，一条直线是一维的，一个正方形或矩形是二维的，而一个立方体或球体是三维的。但分形结构的维数却介于这些值之间。虽然难以想象，你可以将分形维数理解为衡量分形图案复杂程度的指标，或者是在特定放大倍数下，分形图案可以分解成多少个自相似的结构。
分形维度的重要性在于它的实际应用。随着时间的推移，海岸线会发生变化，其分形维数也会随之改变，这可以用来衡量海平面上升的影响。此外，核磁共振成像扫描揭示的分形特性可以帮助医生诊断各种疾病。康涅狄格州哈特福德大学的 Peggy Beauregard 说：“肺部疾病通常会破坏肺部的分形复杂性，阿尔茨海默病也会降低神经元的复杂性。”
分形图案还可以帮助我们理解天气、气候和其他“混沌”系统 - 这些系统对初始条件的微小变化会做出非常不同的响应，其发展路径难以预测。分形图案与这些系统之间的联系在于，描述所有可能状态的路径图 (称为吸引子) 通常具有分形结构。
牛津大学的 Tim Palmer 认为，隐藏的分形结构甚至可能改变我们对基础物理学的理解。他提出了一种用分形几何来描述物理定律的方法，在这种方法中，宇宙的所有可能状态都由一个吸引子表示，这种安排排除了某些状态永远无法达到的可能。
Palmer 认为，这可以解释违反常识的量子“纠缠”现象，即两个或多个粒子之间相互影响的方式。他说，纠缠只是一种幻觉，因为它假象了宇宙可以在所有可能的狀態之间移动，而实际上它并不能。
但 Palmer 更进一步提出，基于分形几何重新思考所有物理学，可以展示宇宙的宏观和微观特性如何相互关联。“物理定律比我们想象的更整体，”他说。
本文译自 New Scientist，由 BALI 编辑发布。