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majer @ 2021.10.19 , 23:01
脑力小体操 网上名题之一条线等分面积
上一期有位朋友 pangshuaige 给出了一个出处
“吴明,张思明.数学问题三则[J].学科教育,1994(04):40-42.”
这是我的老师年轻的时候和爱人一起发的小文章，第一个问题和题主的类似。
多好玩的一对夫妇啊：)
如果有一个国家，所有的父母都想要一个儿子。他们遵循下面的规则：只要没有儿子，就继续生，直到生出儿子为止。
实际上，人类男女婴儿自然出生比例是1.03~1.06:1，男孩子多一些，而非1:1。这个在进化上是有意义的，因为男性更容易夭亡，需要准备几个备用的才能最有效地发挥物种的生殖潜力。
但我们先不考虑这些，就简单计，以男女出生概率1:1来算。
问 长此以往，这个国家的人口性别比例会如何变化？
评论区从几乎所有角度给出了解释。
r9yd
不会变。单纯地想不会改变实际出生的性别。真正有问题的是出生前性别检测流产，杀女婴和虐待女儿。
注意这个问题和三门问题不同。三门问题中主持人在开门前就已经知道答案。而且主持人打开的门一定是排除一个错误答案。因此主持人的行为不是随机的。会改变概率。
如果父母在胎儿出生前不知道胎儿的性别，胎儿出生后也不会因为性别问题而区别对待。那么无论在出生前还是出生后，父母的行为都不影响概率。因为他们的任何行为的效果都会均等地影响两个性别。
煤油冰箱
考虑随机变量X是(男性个数-女性个数),显然这是离散时间鞅.根据时停原理,停时的X期望等于初始时刻X的期望,依然是零,所以如果没生到儿子就一直生(且没生到儿子之前死不了doge),不会导致人口比例偏离1:1.
这就类似于赌徒每次赌注翻倍的策略,生到女儿亏钱生到儿子赢钱,每次赌注是上一局的两倍,在五五开的时候收益期望是0
bach
结论1：1
前面有好几个好的解释。来个高中数学水平的解：假设男孩是1，女孩是0，每个家庭结果是下面序列之一，
1
01
001
0001
…
第一行概率为1/2，第二行1/4，等等。假设N是总家庭数，男孩总数=N/2+N/4+N/8+… = N，女孩总数=0×N/2+1×N/2+2×N/4+3×N/8 = N (用 S – 1/2 S 即可消掉后面所有项)
Hayden
这个生小孩的问题其实有个比较深层的概率论的观点：因为生男生女概率一样，那么定义一个随机过程S(n)(n取正整数，代表第几个小孩)，这个值生男孩+1，生女孩-1，这是个random walk，也是最经典的martingale。任何这个地区的夫妇统一采取的生小孩的策略(比如题目里这个一直生直到生出男孩)都可以理解为对这个martingale下赌注的策略。然后martingale最基本的性质，作为一个fare game，不管你用任何策略，结局收益都是期望零。考虑抛硬币，正面赚一块钱反面亏一块钱，不管你的stopping time(停止游戏的标准，比如一直扔到有一个正面为止)是什么，最终期望都是0. 所以如果这个地区的夫妇采取另外一个策略比如生三个男孩后就不生了，这个最终对性别比例也没有影响。如果这个不成立的话你就可以找到一个扔硬币下赌注赚钱的方式了，显然这是不存在的。
愚者