数学
数学家创造了颠覆传统的新型无穷大
数学家创造了一种颠覆传统无穷大层级的新型无穷大，这一发现可能重新定义数学宇宙的结构。
一种新型的无穷大似乎打破了极大数字的行为规则，可能重新绘制数学宇宙的秩序。
或许令人惊讶，但数学家早已知道不止存在一种无穷大。1878年，Georg Cantor首次证明了包含负数和小数的实数无穷集合实际上比自然数或整数的无穷集合更大。证明这一点需要对两个集合进行仔细比较，而不是尝试不可能完成的全部计数任务。
顺着Cantor的思路，数学家们很快意识到他们可以构建越来越大的无穷集合，创造出本身就是无穷的层级梯队。"人们一直在提出越来越大的无穷概念，"奥地利维也纳技术大学的Juan Aguilera说。"你可以看到人们之前提出的所有无穷大，并将它们放入一个层级结构中。"
然而现在，Aguilera和他的同事提出了两种新的无穷大，称为精确基数和超精确基数，它们不遵循常规规则。"它们并不完全符合这种线性层级，"Aguilera说。"它们与其他无穷概念的交互方式非常非常奇特。"
Aguilera和他的团队通过使这些集合足够大，以至于它们必须同时包含其整体结构的数学精确副本——有点像一座包含多个全尺寸自身模型的房子——并且还包含更大集合的小版本，就像是在房子里添加周围社区或城市的模型。超精确基数还有一条额外规则，即这些集合还必须包含如何制造它们的数学规则——就像是嵌套的房子内墙上贴满了自身的蓝图。
这些不寻常的特性导致这些集合脱离无穷大梯队，因为它们扰乱了一些最深层的数学规则。在20世纪初期，数学家们开始尝试为整个领域找到严格的基础，定义一组基本规则或公理，用于构建和证明任何其他理论。当今最广泛接受的这种基础形式，被称为Zermelo-Fraenkel集合论，包含一个有争议的规则，即选择公理，这正是问题的根源。
这个公理表明，你总是可以通过从其他集合中挑选数字来构建一个新的数字集合，但它并没有明确告诉你如何做到这一点。一些数学家认为，在考虑无穷集合时这是行不通的，因为它需要断言存在数学对象而不提供证明方法。然而，随着时间推移，他们接受了这一规则，现在它被用作组织无穷梯队的关键测量标准，将其划分为三个广泛区域。
在梯队底部，第一个也是最小的区域包含遵循集合论公理的无穷大——这些是Cantor研究的实数和自然数无穷大。在顶部，第三个也是最大的区域有着如此庞大的数字，以至于所有集合论公理都崩溃了，包括选择公理。Aguilera称之为"混沌"区域。
许多无穷大介于这两者之间，位于第二区域。精确基数和超精确基数最初似乎也是如此——但当团队实际尝试确定它们的位置时，发现这是不可能的。"目前尚不清楚它们是位于这个中间区域的顶部，其中公理仍然与集合论的所有其他公理兼容，还是形成一个第四区域，该区域有点位于混沌区域的侧面，但在之前区域之上，"Aguilera说。
然而，解决这些新集合适合哪里的问题不仅仅是学术上的整理——整个数学宇宙可能岌岌可危。这是因为一个关键的未解决问题，称为遗传序数可定义(HOD)猜想，该猜想提出当你达到非常大的无穷大时，选择公理开始变得有意义，而不是导致矛盾。加州大学伯克利分校的Gabriel Goldberg(他没有参与这项工作)表示，这表明数学在最大尺度上变得更有序。"大基数某种程度上为你证明了选择公理。"
如果这些精确基数被更广泛的数学界接受——考虑到它们的存在横跨数学和哲学的边界，这并不一定——那么"这强烈暗示HOD猜想可能是错误的，所以也许混沌占主导地位，"团队成员、德国汉堡大学的Philipp Lücke说。
或许并非如此。"现在说那就是真相还为时过早，"Goldberg认为，秩序最终可能会获胜。"实际上，似乎有大量结构正在浮现。"
本文译自 New Scientist，由 BALI 编辑发布。
