WHAT IF: 费米猜-墨盒里有多少墨水分子

假设我们用便宜的喷墨打印机打一个12号字体的数字「1」，这药用掉多少墨水分子？打印哪个数字，正好和所需的墨水分子数量想当？
—— David Pelkey

面对这种问题，我们又可以玩「费米猜想」了。用费米猜想来蒙答案，我们关心的不是数字的精确性，而是在真的着手研究之前，对要做的事情的规模有个大概的概念。究竟是 10 位数，100位数，还是更大更离谱的数？

所以，在开始动手前，我们可以预估一下结果。

一只打印机墨盒能让打印不少页 8.5"x11" 的黑白文件，乐观估计几百页吧。如果平均每页有500个单词，每个单词有5个字母，那也就是说每一页有2500个字母。100页就是25万字，400页就是1000000个字母。所以，每个墨盒能打印的字母数量应该是6位数。

那一只墨盒里有多少墨水分子呢？这我就没法和大家耍机了，得做点功课。

不知道大家还记不记得化学课上讲过一个叫「阿伏伽德罗常数」的东西，但我已经记不清这东西到底是什么了。印象里应该是一个什么东西乘以一个 10²³ 这样的东西，所以这东西有24位数。好像我还记得这东西是关于多少克东西里有多少个原子的什么东西。这东西是个很小很小的玩意儿(啊，我想起来了，6.022 x 10²³，它是12克同位素碳12所含的原子数量，或者是一克氢气所含的氢原子数量)。

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墨盒里的墨水应该不会太多，因为它不会多到让我们搬不动，或者少到让消费者投诉。我们假设墨盒里有12克墨水，为「费米猜想」就是这么玩的。

我不是搞化学的，打印机墨水里有什么成分我也不清楚。(记住，我们是在做推测。)我知道章鱼也能憋出某种成分的墨水，所以墨水这玩意儿肯定含有很多复杂的化学成分。这就麻烦了，因为我不可能对其中某种成分做出合理的费米猜。

好在，我们要关注的是所有成分里，个头最小的分子，因为它们才是全部分子数量里的大头。

首先，墨水里有不少水份。我打赌大部分水份会在墨水打印到纸面上以后，就全部蒸发掉。

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这很好懂，所以我们来来大胆假设，除了水以外，那10%的墨水是来自于由大量某某碳基小分子组成的12克墨水的一部分，数量和那个「阿伏伽德罗常数」相当。因为阿伏伽德罗有24位，所以10%就是23位，如果我妈没猜错的话，应该是这样。

如果墨盒里有23位数的墨水分子，然后打印了6位数(数十万)个的字母，那么每一个字母(或者数字)应该还有 23-6=17 位数量级的墨水分子。(我们在这里用的算法，是粗暴的位数加减。如果你觉得这种算法很酷，决定好好研究一下，那么恭喜你，你又发明了一次「对数计算」。)

所以你看，如果打印一个10位数的数字，那么纸面上应该有18位数量级的墨水分子，如果打印一个100位的数字，所含的墨水分子量应该是19位的数量级。蛤！打印数字和所含墨水分子数量相当的转折点，肯定就藏在18位数字和19位数字之间。

所以，通过费米猜，我们得到的答案是一个18位的大数。数字的顺序可能会影响结果的准确性，但无论如何，这个数字足够在一行内打印。

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「半位数字」应该是不存在的……

现在，让我们来动真格的，认真研究一下这个问题应该如何才能得到正确的答案。

毫无疑问，墨水的成分是非常复杂的。彩色墨水含有大量大只的胖分子。幸运的是，David 的问题里只提到了黑色墨水，黑色墨水的成分要简单很多。

在我们的案例里，我们就以常见的惠普家用打印机为对象。惠普没有全部公开它的墨水配方，但是我们可以到到惠普公开的一份「原料安全性说明书」

在这份资料里，我们可以看到墨水里 70% 是水份。还含有 2-吡咯烷酮分子(这是抗癫痫药物「琥珀乙烷」的成分之一)，和 1，5-戊二醇。

除此以外，还有 5% 的人造「碳黑」，一种碳结晶(就和石墨或者钻石一样的碳)。这对我们解题来说是一个好消息，因为结晶碳的化学式很简单，就是一个「C」。

方便之处在于，那个「阿伏伽德罗常数」也是用「C」来定义的。小型的墨盒里装载的墨水要小于阿伏伽德罗常数所需的12克，这可能会让我们的推测高了一个位数。并且，由于我们只要猜碳含量，惠普的黑墨水里含5%的炭黑，不是我们之前猜的10%，所以实际数量要小于我们的猜测。但不管怎么说，我们的费米猜还是很成功的！

当然，这让我们感到了在数字化的世界里，做研究是多么的简便：

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当然，这是标准的恐龙字体。(小编注：这个梗我也不太明白……)

这也提醒了我们，墨水有多贵。说到这里，我想到了小乌贼，从这篇论文得知，这种小东西的墨囊容量大概是几毫升，要知道这小东西只有几百克重。

30美元，你可以买到一大把新鲜的小乌贼，你随便逮一只，挤一挤就有五六只墨盒了。

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致富信息。

本文译自 xkcd，由 Junius 编辑发布。