惠更斯的赌徒破产定理 暨 脑力小体操之暗黑对赌问题的答案

先用一道例题介绍一下克里斯蒂安·惠更斯(Christiaan Huygens)的赌徒破产(Gambler's ruin)定理。

青梅竹马的小明和小红因开学延期，在家闲来无事摇骰子比大小。两个人手里的筹码总共100枚，小明手里40，小红手里60。不考虑什么手法，骰子的做工也是均匀对称的。每把输赢全凭运气，输家筹码-1，赢家筹码+1；直到一人全部输光才结束游戏。

问：小明最后输光的概率是多少？

因为这里双方每局输赢的概率相等，实际上属于最简单的情况，挺好分析的，直接给出答案：最终小明输光的概率=最终小红赢下所有的概率=60/100。

也就是说，在双方筹码总量不变，每把输赢机会均等的情况下，最终赢的概率和游戏“开始”时个人手里的筹码数成正比。这就是惠更斯的赌徒破产定理。

“开始”打了引号。因为这里是从“那一把 开始 计算最后输赢的概率”的意思。显而易见，最终的概率会随着真实游戏的过程而发生变化。

也就是，如果真正刚开始的时候，小明和小红手里各50枚筹码。此时，双方最终赢下全局的几率都是50%。完全对称。

但游戏玩了几轮后，局面变成题目里的局面：小明40 VS 小红60。此时，双方赢下的概率变为：40% VS 60%。

当我们解决原始问题后，可尝试推广一下问题。如让双方每把输赢的概率不同。在惠更斯的时代(1629－1695)，因为缺少足够的数学工具，对这一问题就很乏力了。

更一般的问题：

小明和小红玩游戏，小明任意回合里赢的概率为a，输的概率是b，平手的概率是c。双方总共N枚筹码，此刻小明手里i枚，则小红是N-i枚。问：由此刻算起，小明最后输光的概率是多少？

简单解答。设小明从当前游戏回合算起，最后输光的概率是P(i)。当前回合，小明有3种后果：胜负平。

根据全概率公式

P(i)=a*P(输光|当前赢了)+b*P(输光|当前输了)+c*P(输光|当前平了)……**

注意到所谓 P(输光|当前赢了) 这一条件概率是 表示“这一把赢了，但最后结果是全输光了” 的概率。但在承认这一条件下，从下一把算起，小明手里有i+1枚筹码。所以 P(输光|当前赢了) 其实就是 P(i+1)——当前手里有i+1筹码，但最后输光了的概率；类似地，P(输光|当前输了)=P(i-1)，P(输光|当前平了)=P(i)。

再有a+b+c=1，代入(**)式，二阶差分化为，a*(P(i+1)-P(i))=b*(P(i)-P(i-1))。后面求P(i)关于a，b，i的表达式，大体上就是高考难度了吧。

令b/a=γ≠1(=1的情况，之前惠更斯定理讨论过了)，P(i+1)-P(i)=A(i+1)，则An是一个等比数列。求出An的表达式，进而得到

P(i)=(γ^i-γ^N)/(1-γ^N)

注意到，平局概率不会影响最终结果。

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现在让我们再看看 上一期的问题。

《暗黑2》正经有20多年的历史了。无论销量还是口碑，说它是最成功最传奇的PC游戏之一，应该没有丝毫的夸张成分。韩国和国内的最早一代的ARPG网游，基本都受到过暗黑1、2的影响，如天美的总裁姚*光，一开始独立制作游戏时就执着于开发暗黑like游戏。

去年暴雪出了暗黑2的重制版，又引来一批新人入坑和有年纪的情怀玩家回流。如今重制版战网天梯第一赛季已进入尾声。

最近几天，在某个暗黑物品拍卖群里传出了件趣事。

有位喜欢PK(pk就是玩家之间对战)的RMB玩家(主要人物是亚马逊)，有一把用于PK的高攻击无形黄标枪。

在暗黑里，无形的物品无法维修。物品使用的的时候会消耗耐久，如果没有“自动回复耐久/数量”或“永不磨损”的词缀，就没有实用价值。这位玩家的标枪恰好没有这两个词缀。

标枪是投掷物，所以它的耐久就是数量。每次投掷攻击，数量就会-1。等数量到0，无形标枪就相当于消失了。

但是重制版里，官方今年在新补丁里重做了野蛮人职业的技能——投掷专精。现在野蛮人投掷时，有一定概率不消耗投掷武器数量，如果打出暴击，甚至可以增加数量。也就是说，若当前标枪数/总数=95/140，野蛮人投掷的时候打出了暴击，结果就变成 96/140。等数量达到 140 (满了)的时候，暴击不会再增加数目，相当于投掷时数量不变。

所以，这位玩家原本无价值的标枪在新版本里有了用武之地，他PK之后会花钱请专精投掷且堆暴击属性的野蛮人玩家，经投掷把无形标枪的数目升满。

最近，他在连续PK后，一时没注意把标枪投掷到仅剩1根，也就是 1/140。

现在问题来了。

如果这根标枪投掷出去，没有打出暴击且没有触发“不消耗数量”的被动，则这把无形标枪就废了。

这位老板纠结之下，愿意出2000元请一个工作室的野蛮人玩家冒险接这一单——把标枪数补满。但是有条件：如果这个接单的野蛮人玩家，把标枪打空，则需要赔给老板15000。就是一个对赌合同。

现在说一下这个野蛮人相关的属性。

经过精心装备外加工作室里其它角色加上的各种buff，接单野蛮人每次投掷时有60%的几率不消耗数量，有80%的几率可以打出暴击。动工准备：法师开门找一个密集的牛场，圣骑士加光环，死灵法师进去引怪(越密集越好)，往牛堆(游戏里的怪物)施加诅咒。(实际数值不是如此整齐，我为了方便计算取整了)

为野蛮人玩家创造的攻击条件已经尽善尽美了，但暗黑里有一个基本限制：玩家操作角色进行攻击的时候，怪物至少有5%的几率躲避成功(也就是攻击落空的概率)。

也就是说，第一标出手之后，有5%的几率相当于投向了空地，那就不会判定暴击，如果再没有触发“60%的几率不消耗数量”，则标枪数=0，赔老板15000……这里假定，诅咒和光环等buff，已经把攻击落空的概率压缩到极限5%。

信息摆在这里，如果大家就是这个野蛮人玩家，会选择接这个活吗？(这里为了方便，每次攻击就按5%的失败几率算。不考虑攻击的穿刺效果和一条线上的怪物造成的多次判定问题。)

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评论区CA+RECOVERY分析如下：

我算的概率和前面的有点区别
只看题目来说，存在3重判定
消耗 40% | 保持 60%
击中 95% | 躲避 5%
暴击 80% | 普通 20%
其中击中为暴击/普通判定的前置条件，消耗/保持判定为独立事件

一次投掷判定结果罗列如下
P(-1) = P(消耗*击中*普通) + P(消耗*躲避)
= 0.4*0.95*0.2+0.4*0.05
= 0.096
P(0) = P(消耗*击中*暴击) + P(保持*击中*普通) + P(保持*躲避)
= 0.4*0.95*0.8+0.6*0.95*0.2+0.6*0.05
= 0.448
P(1) = P(保持*击中*暴击)
= 0.6*0.95*0.8
= 0.456

这里P(1)就是a， P(-1)就是b，P(0)是c。

γ=0.096/0.456，i=1，N=140。

代入

(γ^i-γ^N)/(1-γ^N)，得到失败概率≈0.2105263

之前同样在评论里，CA+RECOVERY编程模拟

Sub Simulator()
For n = 1 To 100000
i = 1
Do While i > 0 And i < 140 r = (Rnd) If r < 0.096 Then i = i – 1 ElseIf r < 0.544 And r > 0.096 Then
i = i
ElseIf r < 1 And r > 0.544 Then
i = i + 1
End If
Loop
If i = 0 Then
j = j + 1
ElseIf i = 140 Then
k = k + 1
End If
Next n

Range("A2").Value = j
Range("B2").Value = k

End Sub

输出21%左右。

对照可以看出数学模型是可靠的。

从概率来看，对赌合同是不公平的。虽然根据D2圈里的说法，代练还是冒险接下了合同，15分钟赚了2000。

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回到本文主题，想要进一步挖掘这一概率模型的同学，可以搜索 多参数Gambler's ruin、随机游走 等关键字。

我们关于这一模型已有很多研究结果。如早已知道，无论a，b，c具体分布如何，这场游戏可以永远持续下去的概率为0。

我们还可以算出需要玩多少把，游戏才能结束；以及小明赢下或输光游戏，预期需要玩多少把。

还是用上期的问题当例子。问代练需要投掷多少次，才能把标枪数升满？

一般公式就不给了，直接代入数字： [139*((0.096/0.456)+1)-2*140*0.2105]/[(0.456-0.096)(1-0.096/0.456)]≈385。

也就是说平均需要投掷385次。

最后这个求期望的难度，和前年的阿里巴巴全球数学竞赛里概率赛道决赛某题目相当。

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