《量子杂志》特邀多位哲学家和数学家解读哥德尔1931年不完备定理的深层含义，对物理学的冲击，以及常见的误解。

任何足够强大的形式数学系统都存在既不能证明也不能否证的命题。这是哥德尔1931年证明的结论，也是数学史上最深刻的结论之一。但九十多年后，人们仍然在争论它到底意味着什么。

坦佩雷大学哲学家Panu Raatikainen直说了：公理化方法自古希腊以来支撑了数学的全部大厦，但它必然在数学的很大一部分领域失效。关于正整数的数学真理并不来自任何有限公理集。

克莱因瓶物理学家Claus Kiefer把这个问题直接推进物理学。1963年连续统假设被证明不可判定：实数是否是自然数之后最小的无穷集？如果寻找中的统一场论将时空描述为一个连续统，连续统假设可能让这个理论本身不完备。他认为要避开不可判定性，时空必须是离散的。

最大的误解是哥德尔一锤子砸死了希尔伯特建立无所不包的形式系统之梦。滑铁卢大学的逻辑学家Rachael Alvir说并非如此。哥德尔在1931年论文里明确写了相反的话：不可判定是相对于某个系统的。他设想了一个无限递增的逻辑系统序列，每个比前一个更强大。纯粹数学结果本身不能判定是否存在绝对不可判定的问题。

赫尔辛基大学的Juliette Kennedy说，当我们面对概念秩序时我们总会失败。而我们应当庆幸失败了，因为失败比成功更有趣也更深刻。

本文译自 quantamagazine，由 BALI 编辑发布。