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majer @ 2021.10.26 , 23:56
脑力小体操：网上名题之阿凡提卖萝卜
本期问题在2000年以前非常有名……
阿凡提收获了1000斤萝卜，自己吃吃不完，要卖就要去大集市。但因为阿凡提离群索居，住的地方很偏僻。要去城里需要穿越100里的沙漠瀚海。
已知阿凡提的驴子最大载重就是100斤，同时在沙漠里每走1里地，就需要吃掉1斤萝卜。阿凡提需要自带吃喝盘缠，所以不能帮驴子分担负重。显而易见，阿凡提无法一次性地把萝卜带到集市，但是他可以采取下面的策略。
阿凡提事先带着驴子把部分萝卜埋藏在他沿路的秘密地点，作为补给。当然，这样来回往返，也会消耗很多萝卜。但是因为阿凡提亲手种的萝卜可以增加智力属性，所以每根价格都相当于800年的老参——只要送到市场上，哪怕就一根收益也很大。
现在问，阿凡提总共可以在集市里卖出多少斤萝卜？(注意要往返哦)
首先一点，认为经过质心的直线可以平分面积的想法是错的。
用 ID 为 ≠0 的解释
过质心等分的各位，试一试等边三角形质心平行于一边的直线？质心是力矩平衡，相当于每个点以其到直线的距离加了权，而算面积的时候所有点的权均为 1。
比如说，等边三角形，过几何中心且与一边平行，则把原始三角形分成上面的小三角形和下面的梯形。小三角形和原三角形相似，相似比是2:3。则面积的比是4:9。显然，这条线没有平分原图像的面积。
正解
在四边形ABCD中，取对角线BD的中点O，连接OA、OC．显然，折线段AO-OC能平分四边形ABCD的面积，再过点O作OE∥AC交CD于E，则直线AE即为所求。
证明：
因为OE∥AC，
所以S△AOE=S△COE，
所以S△AOF=S△CEF，
又因为，折线AOC能平分四边形ABCD的面积，
所以直线AE平分四边形ABCD的面积
另一只鸡：
四边形ABCD。过AC中点O做BD的平行线，交AB或BC于P。直线PD平分四边形ABCD。证明：由于O是AC中点，不难发现三角形AOB和三角形AOD面积占了四边形ABCD的一半。又由于OP平行于BD，所以三角形OPD面积等于三角形OPB的面积。四边形ABPD(或者三角形APD)面积等于三角形AOB+三角形AOD-三角形OPB+三角形OPD，即四边形ABCD的一半。
翅痕
设顺时针四个顶点为ABCD，连接其中一个对角线AC，过B点做AC的平行线，那么在这条平行线上任意移动B点不会变化三角形ABC的面积，将这条平行线与DC延长线相交与E，那么就变成了平分三角形AED的问题，找出DE的中心点F，需要F落在CD之间，连接AF即平分了面积。
另外，nerv同学提到
这题让我想到之前上大学的时候想到的一个问题:对于任意卤蛋，是否都存在一个方法能一刀同时等分蛋清和蛋黄。每次去买肉夹馍吃的时候都会想一会，困扰了我好几年。
搜索“三明治定理”，就能解惑。