走进科学
来自中国的数学家证明了44年前的重要猜想
以色列理工学院的Jiang姜子麟和莫斯科物理技术研究所(MIPT)的Alexandr Polyanskii解决了LászlóFejesTóth的条形覆盖猜想。它于1973年被提出，含义是说，如果一个单位球体的表面被几个条形区域完全覆盖，则所有条状区域的总宽度至少是π。给出这一猜想的证明，将推动离散几何和组合几何领域近一步向前发展。
离散几何学研究点、线、圆、多边形和其他几何对象的组合属性。这一领域中的问题往往具有，直观上相对显然，但是很难对其进行严密的数学论证的特点。比如说，在边长为10个单位的立方体容器中，最多可以容纳多少个单位球体？
看起来，好像在每一层方方正正地铺满球，就能得到所需的答案。但是，实际上，这个问题就是有名的开普勒装填球猜想。
上面提及的装填方法，所有球心就像是晶体中的格点，所以也叫晶体式填充法。事实上，数学家发现，其他的不那么对称的方法至少是和晶体法具有一样的效率。
1998年，美国密芝根大学的黑尔斯借助电脑，解决了开普勒的猜想。论文长达250页，外加3Gb的电脑程序，这些直接导致数学界长时间未对黑尔斯的证明进行检验，黑尔斯本人迟迟未获得应用的荣誉。
像条形覆盖猜想以及开普勒猜想这样的问题，具有广泛的现实意义。它们对区域规划理论、纠错码、乃至智能翻译的设计都有指导意义。我们可以将某段外语语句看作是高维度的球体，比如说在英语中就可以用26个维度作为坐标来确定一个单词。
在这种语境下所谓的覆盖，可以理解成使用汉语库里的单位构件进行替换，包含它所有可能的语义。这一猜想就可以被用来确定翻译时，需要替换语句的长度一类的信息。
除此意外，离散几何对化学、生物学和计算机科学以及物流系统的发展都是至关重要的。
而在数学上，板条覆盖猜想与离散几何中的一些其他问题密切相关，这些问题在二十世纪就已被解决。首先就是是所谓的条形板覆盖圆盘的问题。著名的数学家阿尔弗雷德·塔斯基(Alfred Tarski)和亨利克·莫伊斯(Henryk Moese)提供了一个简单的证明，指出这些条带或木板的组合宽度不能小于圆盘的直径。也就是说，和我们直观的看法是一致的。然后，ThøgerBang解决了用条带覆盖任意凸多边形的问题。也就是说，他证明了覆盖多边形的条带的总宽度至少是多边形本身最小的宽度。
塔尔斯基证明，一个半径为1的圆不能完全被宽度小于2的条形区域所覆盖。Credit：MIPT
最新的证明，需要处理的问题要更加复杂，因为它涉及覆盖一个3维的单位球体的表面。形象的说法，这里使用的板条就像是削苹果皮时，那种带弧度的长条状。
Jiang和Polyanskii的思路受Bang的启发，使用了反证法。对FejesTóth条形覆盖猜想，数学家先假设完全覆盖球体的条形的合并宽度小于π，然后从假设和已知的数学定理出发进行推理，最终找到矛盾点——即球面上出现了一个点，它不在任何的条形覆盖之下，与最初的假设矛盾。
思路说起来容易，实际上用于证明过程却很难。两位作者一开始退而求其次，指出在三维空间中存在一个坐标，无法被制定宽度条形所覆盖。然后，他们论证这种点如果位于球体内部，那么在对应的在球体表面上也应该存在无法被覆盖的点。但是，他们不能保证这样的例外的点一定在球体内部，所以，又需要努力攻克之外的情况，最后他们尝试对球体进行某种变换，而不会影响结论。因此，当球包含了原本在外的点时，就归结到前面的结论，内部点对应表面的点。最终，得到我们想要的矛盾。
Polyanskii 说：“40多年来，我们解决的问题已经消耗了该领域数学家们的太多精力。最终，很幸运地，我们找到了这个问题的一个优美的解答。成功证明Fejes Tóth 猜想也会促使我们去思考更基本的假说。”
更多信息：Zilin Jianghis runs counter to the hypothesis that the combined width of the zones is less than π, proving Fejes Tóth's conjecture.(2017)。 DOI：10.1007 / s00039-017-0427-6
姜子麟，现为以色列理工学院数学系的博士后。姜博士生于上海，本科毕业于北京大学，后于美国卡内基梅隆大学完成博士学位。姜博士的研究领域包括离散几何与极图理论，是位热爱滑雪等运动的年轻数学家。更多姜博士的相关信息可参考：math.cmu.edu/~zilinj