庞氏骗局的数学模型

这篇文章其实没有结论，标题也是我拍脑袋想的，目的是抛砖引玉。

最近的麦道夫，去年的蚁立神。在他们成名之后倒闭之前，都是商业英雄大众偶像，是信誉化身和不败传奇。再牛的操盘手和证券经纪都不能保证稳赚不赔，但是他们能。在最后一次的溃败之前，看起来的确如此。

蚁立神欺骗了一个城市，麦道夫欺骗了一个国家。那么在可能的情况下，这个倒立的金字塔能建多高？我很想知道这样一个具体的数据化模型。假设骗局的上限跟麦道夫一样是500亿美元，每位投资人付出10w美元。按最原始的庞氏骗局参数来计算，每三个月付给投资者40%的利润回报，那么他是如何做到财务平衡，他最大可能为维持多久？骗局发明人查尔斯·庞兹在七个月内吸引了三万名投资者并持续一年，远远比不上麦道夫维持40年之久的记录。想来是麦道夫的回报率是每年20%左右，相对来说比较安全(接近于正常的投资收益，偏偏遇上金融危机了)。

以我有限的数学知识就只能说到这个份上。数学达人乱入，坐等该模型。

图：麦道夫
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网络释义：
互动百科：

庞氏骗局是一种最古老和最常见的投资诈骗，是金字塔骗局的变体，很多非法的传销集团就是用这一招聚敛钱财的，这种骗术是一个名叫查尔斯·庞齐的投机商人“发明”的。

维基百科：

庞兹骗局，在华人社会又称为非法集资、“非法吸金”，在□□的俗称叫作老鼠会。是层压式推销方式的一种。参与者要先付一笔钱作为入会代价，而所赚的钱是来自其他新加入的参加者，而非公司本身透过业务所赚的钱。投资者通过吸引新的投资者加入付钱，以支付上线投资者，通常在短时间内获得回报。但随着更多人加入，资金流入不足，骗局泡沫爆破时，最下线的投资者便蒙受金钱损失。

# Comments by iamiam：

假设这样一个简单的模型：所有新加入的成员都把本金放入组织的本金库，每年给每个人派发利润。如果是维持20的利润，也就是说，不算复利的话，5年时间当前所有成员都可以收回自己的本金，那么五年之后，如果没有新成员加入，本金库就会被派发一空，利润体系崩溃。如果在第五年有和当前同等数目的新成员加入，那么2.5年后本金库会消耗完，以后每2.5年，组织成员数目需要翻一番才能维持模型的持续发展。

一开始是一个人，5年后变两个人，维持40年的话，人员还要翻倍35/2.5=14次，也就是说，在模型崩溃的时候组织成员至少有2*2e14=32768人。这时第一个人的利润是20%*40=800%，貌似也不是很多...

如果记复利，两年左右成员数就要翻倍一次，模型崩溃的时候成员有2*2e18=524288人，第一个人的利润就变成了120%^40-1=146877%，很是惊人...

当然这只是理想情况下的模型，实际情况下不会是到本金库快空的时候一下子多出这么多下线，而是慢慢发展的，而且各个阶段下线发展速度也是不等的，更接近于一个积分模型。

# Comments by wirx：

旁式现象个人觉得是行业潜规则了

旁式在泡沫时期的竞争力很强的，可以吸收到更多的资金，就可以左右牌局，获得稳定的收益，这些优势一定程度弥补了麦道夫的高回报，作为一种经营策略，投资者和金融公司都本能的愿意玩这样一局。

在设计公式时，应该要加入这些因素，先说两个（吸收到的资金的正常投资回报，一个是投资者将所谓回报追加投资）
参与者，其实未必不清楚其拆补的手段，不过，当泡沫在膨胀时，所谓优质投资者，本能的寻找看上去资金力量更雄厚，回报预期更大的投资公司。至于风险，谁管他呢，我们交给专家了，让我们享受生活吧。

这次破产的真正原因是资金追求资金的裂变塌陷本能，再强大的太阳总会有烧光后塌陷的。再强大的美元帝国，也有承担不住其内在疯狂的金融流转和工具敛财，泡沫破灭的。

# Comments by dedge：

经济学中就直接有Ponzi-game-condition，实际上一般政府发债就是一种庞氏骗局，只要把债务放在无限远期，债务就变成了净利润了。数学上可以写成limit_{s rightarrow infinite} exp{-R(s)} K(s) <= 0，其中s是时期，K(s)是s时刻的资本存量。 所以说经济学都是鬼扯的事情 囧