艺术引领数学？

一般认为数学和艺术是不同的学科，一个致力于抽象概念，另一个则注重情感。但有时候两者的界限并不分明。

从伊斯兰瓷砖到杰克逊·波洛克的混乱图案，我们可以看到艺术与数学研究之间的明显的相似性。两种思考模式并不完全相同，但有意思的是，似乎经常其中一个预示了另一个。

是不是有时候艺术会启发数学发现呢？没有简单的答案，但在某些例子中，看起来很可能是的。

阿尔罕布拉宫的图案

在14世纪和15世纪，阿尔罕布拉宫是柏柏尔人君主的宫殿和寝宫。对很多游客而言，这几乎是地球上最接近天堂的所在了：诸多有喷泉的楼天庭院，四周是遮阴避雨的环廊。天花板上布满了模印的类似钟乳石的精美几何图案。而最精美的当属四周墙壁的多彩瓷砖上的装饰，令人眼花缭乱，沉醉于喜悦之中。这种几何图案类似于音乐，令人灵魂出窍，如闻天音，喜不自胜。

阿尔汉布拉宫的瓷砖。Credit: 煎蛋第六位画师Chon

这是艺术的胜利，也是数学推理的胜利。这种装饰引发了一个数学分支名为铺砌问题，即利用规则的几何图形覆盖整个空间。数学上已证实，平面可被三角形、四边形和六边形等图形铺满，但五边形不行。

结合不同的形状也是可以的，比如利用三角形、四边形和六边形瓷砖完全填充空间。阿尔罕布拉宫就浸□于这种精美的几何组合，使得看起来似乎是在移动中，而不是静止。这些图案似乎在我们眼前旋转，令我们的脑子在观看的时候不断思考，不断排列、重新排列这些图案，形成不同的新图形(比如盯着厕所的瓷砖思考人生)。

情感体验？不错。但这种伊斯兰瓷砖最令人着迷的是这些无名艺术家和工匠的杰作还表现出几近完美的数理逻辑。数学家们已经鉴定出17种对称形：左右对称，旋转对称等等。阿尔罕布拉宫就包含了至少16种，就像是教科书的图解。

这些图案不仅仅是漂亮，还蕴含着严密的数学，几乎完全囊括了基本的对称特性。而数学家们直到阿尔罕布拉宫建成几个世纪之后才提出对称原理的分析。

准晶体瓷砖

虽然阿尔罕布拉宫的装饰物是极好的，但波斯的杰作可能还要更胜一筹。1453年，伊斯法罕Darbi-I Imam圣地的无名工匠发现了准晶体图形。这些图形具有复杂神秘的数学性质，直到1970年代彭罗斯拼图的发现，数学家才能够进行分析。

这种图形能以规则的形状完全填满空间，但是所用的图形绝不重复。实际上，即使趋近于无限也不会重复，不过黄金分割这一数学常数会不断重复出现。

Daniel Schectman由于发现了违反完形法则的准晶体获得2001年的诺贝尔奖。这一突破性进展迫使科学家重新考虑物质本质的概念。

2005年，哈佛物理学家Peter James Lu证实可以利用相对简单的结瓷砖(girih tile)产生准晶体图形。结瓷砖结合了几种纯粹的几何形状形成五种图案：正十边形，不规则的六边形，蝶形，菱形以及正五边形。

Girih tile. Credit: 煎蛋画师Chon

不管理论如何，反正Darbi-I Imam圣地的准晶体图案是由不精通数学的工匠制造的，花费了数学家几个世纪的功夫来分析和解释。换言之，直觉先于完全的理解。

透视与非欧几里得数学

几何透视使得画师能逼真而准确地描绘所见世界，引发了意大利文艺复兴的艺术变革。并且还可以说透视引起了对基础数学定律的重要重新检查。

根据欧几里得数学，两条平行线永远平行不相交。而在文艺复兴透视的世界中，平行直线在远处最终会相交于所谓的“没影点”。即是说，文艺复兴透视提出了一种遵循通常数学法则的几何，但是非欧几里得的。

Credit: 123RF

当数学家首次在19世纪早期提出非欧几里得数学时，他们想象出一个平行直线在无限远处相交的世界。他们所研究的几何在很多方面，都类似于文艺复兴透视图。

非欧几里得数学此后转向探索12维或者13维空间，远超文艺复兴的透视世界。但值得深思的是，文艺复兴艺术是否使得那最初的一步更为容易呢？

波洛克的混乱画作

现代艺术中一个有意思的个例打破了传统的界限，与近期的数学发展具有相似之处，那就是杰克逊·波洛克的画作。

对于首次看到的人，波洛克的画作似乎非常混乱没有意义。但随着时间推移，我们会逐渐发现其中具有一定的有序元素，虽然并非传统意义上的那种。他们的形状既是可预测的，同时也是不可预测的，这种方式类似于水龙头的滴水，无从估计下一滴的准确效应。但是，如果我们绘制滴水的图案，就会发现会落入一个具有清晰形状和边界的区域。

这种不可预测性曾经超出了数学的处理能力。但近年来，这已成为最热门的数学探索领域之一。例如，混沌理论探索不可预测但落入确定可能性范围的模式，而分形分析研究类似但不相同的形状。

波洛克自己对数学没有任何特别的兴趣，而且已知对此领域并无多少天赋。他所创造出的这些迷人的形式都是出于直觉和主观。

有趣的是，数学家们至今仍未能准确描述波洛克在画作中所做的。例如，曾经有研究者试图利用分形分析创建他的风格的数值“签名”，但至今仍未能成功，无法区分波洛克的亲手画作与劣质的模仿。即使认为波洛克利用了分形的观点这一想法可能也是不正确的。

尽管如此，波洛克的同时混乱和有序的图形仍然为数学研究提供了多种可能方向。可能某一天，研究者能描述波洛克画作中的数学，艺术家也会继续前进，制定探索的新边界。

本文译自 conversation，由 CliffBao 编辑发布。Henry Adams