史海钩沉
数学：构筑现代世界的基石
数学不仅是科学发现的先导，更是工业革命和现代社会的基石。从几何计算到社会数学，再到现代科学的兴起，数学的应用贯穿了整个现代世界的构建过程。
数学是工业革命的基石。一种新的测量和计算范式，而非科学发现本身，构建了工业、现代性和我们今天所居住的世界。
在学校，你可能听说过在工业革命之前是科学革命，牛顿发现了运动的基本法则，伽利略了解到宇宙的真实形态。凭借这些新发现和科学方法，工业革命的发明家们创造了机器——从手表到蒸汽机——这些都改变了一切。
但科学真的是关键吗？工业革命的大多数重大发明并没有深厚的科学理解作为支撑，它们的发明者也不是科学家。
标准的编年史忽略了之前500年中许多重要事件。广泛的贸易在欧洲扩展开来。艺术家开始使用线性透视法，数学家学会了使用导数。金融家开始联合股份公司，船只航行在公海上。财政强大的国家在全球范围内进行战争。
所有这些进步中贯穿着一条知识线索：测量和计算。几何计算在绘画、天文学、制图学、测量学和物理学中取得了突破。数学在人类事务中的引入导致了会计、金融、财政事务、人口统计学和经济学的进步——一种社会数学。所有这些都反映了一个潜在的“计算范式”——即测量、计算和数学可以成功地应用于几乎所有领域的观点。这一范式通过教育在欧洲传播，我们可以通过数学教科书和学校的扩散来观察到这一点。与其说是科学本身，不如说是这一范式推动了进步。正是这场数学革命创造了现代性。
几何创新
几何学的进步始于欧几里得的重新发现。最早的已知中世纪拉丁文翻译版本是巴斯的阿德拉德在1120年左右使用来自穆斯林西班牙的阿拉伯语源完成的手稿。拉丁文印刷版于1482年出版。数学家塔尔塔利亚在1543年将欧几里得的作品翻译成意大利文后，其他方言的翻译迅速跟进：1558年的德语，1564年的法语，1570年的英语，1576年的西班牙语和1606年的荷兰语。
除了欧几里得之外，德国数学家雷吉奥蒙塔努斯在1464年撰写了第一本欧洲三角学教科书《关于各种三角形》。在十六世纪，弗朗索瓦·韦达帮助用现代符号取代了代数的口头方法，其中未知变量用x、y和z等符号表示。勒内·笛卡尔和皮埃尔·德·费马在韦达的创新基础上发展了解析几何，其中曲线和表面由代数方程描述。在十七世纪末，艾萨克·牛顿和戈特弗里德·莱布尼茨通过微积分的发展，将解析几何的方法扩展到运动和变化的研究中。
在数学理论改进的基础上，将这些理论应用于世界的工具也取得了戏剧性的进步。一个引人注目的例子来自角测量，随着天文学家开始使用新工具，如上图中的壁画象限仪，角测量的精度大大提高。角测量通过将仪器指向物体并在测量尺度上读取它们的角度来工作。指向的精度通过望远镜瞄准器和精细可调的机制得到改善，而更好设计测量尺度则允许天文学家区分相似的角度。下图显示了精度趋势，从1550年的7弧分钟或0.11度，到1850年的0.06弧秒或0.000017度——在三个世纪中惊人的提高了近7000倍。
计算得到了印度-阿拉伯数字的采用和十进制符号的普及的帮助。1614年，约翰·纳皮尔引入了对数，将乘法转化为加法，十年后，计算尺的发明可以高效地执行乘法和除法(见下图)。这个时代还见证了印刷数学表的引入。这些表格记录了标准数学函数的值，对于计算至关重要，直到电子计算器的出现。构建它们涉及使用已知关系，如三角恒等式，从旧值计算新函数值。虽然理论上简单，但表格构建在计算上要求很高。著名的1596年三角函数表《Opus Palatinum de Triangulis》是一项昂贵的努力，由哈布斯堡皇帝马克西米利安二世资助：它的10万个三角比率——精确到十位小数——由数学家Rheticus和他的人类计算机团队花费12年计算，成本超过Rheticus作为数学教授年薪的50倍。
应用几何
数学知识、仪器制造和计算的发展支持了一波基于数学的创新浪潮。
在十五世纪，线性透视法通过使三维空间在二维表面上的表现成为可能，彻底改变了绘画。数学基础在莱昂·巴蒂斯塔·阿尔贝蒂的开创性作品《论绘画》(1415年)中显而易见。开篇段落宣布该论文将“从数学家那里借用与主题相关的方面”。在阐述了欧几里得关于点、线、面和立体的概念之后，阿尔贝蒂运用这种几何语言来解释透视绘画的原理。
测量和制图学也取得了进步。在1450年，阿尔贝蒂撰写了《罗马城市描述》，其中包含了罗马重要地点的坐标表，以及土地测量、地理位置、距离和面积测量的说明。
接下来的几个世纪见证了进一步的改进。一个关键的进步是三角测量的增长。下图说明了基本概念：如果你有A和B点，并测量到C的角度ɑ和β，这就可以唯一确定C的位置。此外，如果A和B之间的距离已知，该方法还可以提供从A和B到C的距离。三角测量之所以具有吸引力，是因为它用廉价的角度测量取代了昂贵的距离测量。在数学家杰玛·弗里修斯在1533年解释了三角测量如何用于制图之后，该方法迅速在欧洲传播。在1578年，天文学家第谷·布拉赫使用三角测量来绘制他的天文台所在地的赫芬岛，并且在世纪末之前出版的许多教科书中描述了该方法。
概念的力量可以通过使用三角测量网络进一步放大，三角测量点用于进一步的三角测量(见下图)。有了足够精确的角度测量，这样的网络在精度和范围上没有限制。在1615年，荷兰数学家威勒布罗德·斯内利乌斯使用基于教堂尖塔的三角测量网络来确定14个荷兰城市之间的距离，到了十八世纪中叶，法国大地测量任务(试图测量地球形状)使用三角测量网络和精确的仪器确定地球在赤道处膨胀，通过显示一度纬度在北极圈是111.9公里，而在赤道只有110.5公里。三角测量网络构成了制图的基础，直到GPS的出现。
数学也塑造了文艺复兴时期的战争。为了对抗新炮兵的力量，通过引入星堡，即所谓的意大利迹线，堡垒的几何形状变得更加复杂。星堡是低矮的堡垒，周围有保护性的斜坡(倾斜的堤坝)和护墙(向外突出的三角形墙壁)，防止直接的大炮火力射向墙壁。它们的三角形堡垒偏转了炮弹，同时允许防御者端对端地射击试图攀登墙壁的攻击者。为了建造它们，堡垒建筑作为应用数学的领域出现了，因为正确地获得几何形状对于结合保护敌人炮火和为防御者提供良好的视线至关重要。
同时，弹道学作为炮兵的数学研究出现了。第一篇论文《新科学》于1537年由欧几里得翻译者塔尔塔利亚出版。这本书提出了一个基本的抛射运动理论，提供了一个为什么45度角可以最大化大炮射程的论点，并提供了指导炮手使用仪器来测量距离和校准大炮仰角的指南。标题页描绘了塔尔塔利亚在有围墙的花园中向七个缪斯女神演示新轨迹科学，欧几里得守卫着入口。
现代天文学也基于几何学。托勒密、哥白尼、布拉赫和开普勒竞争的天体模型对角度测量有不同的含义，因此几何论证成为天文辩论的关键。
数学家雷吉奥蒙塔努斯展示了如何使用基本几何学来确定天体的距离。关键思想是，无论你相信地球围绕自己的轴旋转还是天堂围绕地球旋转，旋转都是围绕地球的中心，而不是观察者所在的地球表面。鉴于此，事实证明，接近的物体似乎比远处的物体更快地穿过天空。下图显示了观察者在旋转体的边缘如何感知接近和远离的物体：当观察者旋转时，接近的红色点似乎经过远离的黑色点。第谷·布拉赫因使用这种推理而闻名，他认为1572年的超新星和1577年的彗星必须位于月球之外，因为它们相对于远处的星星移动得比月球少得多。这对天文学辩论很重要，挑战了亚里士多德的观点，即只有月球以下的球体看到变化，而天堂是不变的。
后来，地心模型的托勒密天体模型被伽利略·伽利莱伊最终击败。伽利略凭借他的数学知识和工程经验，改进了最近发明的望远镜的放大倍数，并用它发现金星有像月亮一样的相位。根据托勒密模型，金星总是位于地球和太阳之间，永远不会有“满金星”，因为这只有在金星从地球的角度看位于太阳之外时才会发生。伽利略能够证明金星的阴影与行星绕太阳运行而不是地球一致。
天文学模型通过支持创建天文历书，预测特定未来日期和时间的天体位置，有助于导航。如果水手知道不同的天体在不同纬度和一年中不同日期的地平线上有多高，他们可以通过测量它们的角度并在天文历书中查找相关日期来找到纬度。这促进了公海航行，因为知道目的地纬度的水手可以向北或向南航行，直到太阳或其他天体在天空中的位置表明他们已经到达了所需的纬度，然后沿着它航行。这使他们不必沿着海岸航行。在1707年，由于对纬度估计错误24-36海里(不仅仅是经度的错误，正如普遍认为的那样)，四艘英国军舰在康沃尔海岸的锡利群岛附近坠毁，超过1400名英国水手溺水身亡，充分证明了拥有正确纬度的重要性。
数学创新对时期的巅峰成就：现代科学至关重要。在《科学的发明》一书中，历史学家大卫·伍顿展示了绘画、制图学、测量学、弹道学、天文学和导航方面的创新如何为17世纪的科学革命铺平了道路。一个由个人组成的社区获得了开发世界数学模型的经验，并将其与来自新仪器的越来越精确的测量结果相对照。在天文学中，这一过程最终推翻了地心模型。在力学中，伽利略结合仪器制造、测量和数学奠定了我们对运动现代理解的基础。当伽利略声称宇宙是“用数学语言写成的书”时，他表达了现代物理科学的基本假设。用伍顿的话来说，“科学革命，首先和最重要的是，数学家的革命”。
社会生活的数学化
社会数学的开始是将阿拉伯代数引入欧洲。一个重要的里程碑是1202年出版的《计算之书》由莱昂纳多·皮萨，更广为人知的是斐波那契。《计算之书》借鉴了商业和日常生活中的例子，引入了印度-阿拉伯数字和基本代数，展示了这些工具如何用于执行标准算术计算和解决商业问题，如利润分配。斐波那契不是第一个在欧洲使用阿拉伯数字的人，但他有影响力。他还引入了净现值，通过基于利率对未来收入进行贴现，将随时间的支付流转换为单一价值。
这些理论基础导致了社会数学的创新。一个早期的例子是复式簿记，其中财务交易在单独的借方和贷方账户中记录。已知最早的实例可以追溯到1299年，但广泛的传播是在数学家卢卡·帕乔利的印刷书籍《算术、几何、比例及比例性总论》(1494年)出版后。通过两次记录所有交易，复式簿记减少了错误的可能性，并允许公司追踪其不断变化的财务状况到底层流动。
复式簿记在意大利的私人商人中传播，并与利率数学的改进一起支持了私人金融机构的崛起。像富格和美第奇这样的银行帝国依赖它来管理它们庞大的活动和资本结构，良好的会计支持了贷款机构，使监督借款人变得更加容易。
这个时代还见证了国家金融实践的改进。总体动机是战争需求的演变。在早期现代时代，中世纪的封建诸侯被主要由专业雇佣兵组成的军队所取代。硬通货成为了战场的语言，良好的财务管理成为了国家生存的当务之急。
在十五世纪末，哈布斯堡君主制发展了宫廷财政的宫廷室模型，其中中央单位跟踪收入、支出和信贷流动。宫廷室方法在十六世纪在德国传播，并与财政能力的提高有关——即国家可以通过税收或借款筹集多少钱。宫廷室的会计理念可以在1568年的一份指导手册中看到，该手册指出宫廷簿记员应该“设立有序的书籍，有不同的标题和小节，并基本上维护它们”。
个别改革者的生活表明，公共会计的创新从私营部门传播开来。托马斯·克伦威尔在一家意大利银行工作后回到英格兰，将皇家财政管理从个人化的封建制度转变为现代国家官僚机构，即所谓的都铎政府革命。在荷兰，博学家西蒙·斯蒂文在一家商行工作，并在成为荷兰执政官莫里斯·奥兰治的主要顾问之前出版了第一张利率计算表。(斯蒂文还是一位会计理论家，于1607年出版了第一篇政府会计分析。)在法国，让-巴蒂斯特·科尔伯特出生在一个杰出的商人家庭，但后来进入政府，并负责在十七世纪末改革法国的财政管理。
除了在利率计算和私人及公共会计方面的创新外，早期现代时代还见证了金融市场的发展，特别是在政府债务市场方面。在这里，意大利城邦是重要的创新者。在紧急情况下，通过向富有的公民征收强制贷款来筹集资金。尽管这些贷款是强制性的，但它们支付利息，因此成为债权人的资产。这些债务的二级市场得以发展，使债权人即使在国家没有偿还本金的情况下也能将他们的资产转换为现金。
据估计，在十五世纪，每年有5%的意大利债务被交易。私人金融家的成熟度提高和他们的公共对应方支持了金融创新：瑞典通过抵押其铜收入来资助其崛起为大国，为了使其债务更具吸引力，英格兰创建了英格兰银行作为一个独立的实体，拥有发行票据等特权。
最后，早期现代时代见证了定量社会科学的诞生。在1650年代为克伦威尔的军队调查爱尔兰之后，英国人威廉·佩蒂倡导了一门名为“政治算术”的新科学，该科学寻求在与税收、支出、贸易和货币问题有关的事务中实现定量精度。另一位英国人约翰·格兰特因其在《自然和政治观察》中对死亡率的分析而被誉为人口统计学的创始人。随后，生命表和新的概率理论相结合，支持了新兴寿险行业的价格制定，荷兰人约翰·德·维特的《生命年金与赎回债券的价值比较》(1671年)被认为是最早将概率理论应用于金融的案例之一。在这些进步的基础上，十八和十九世纪见证了现代学科如经济学、流行病学、人口统计学、精算科学的发展。
计算范式
我们叙述中的创新涵盖了广泛的领域，但它们有一个统一的特点：使用测量和数学计算来解决现实世界的问题。我们称之为“计算范式”。下图说明了范式的核心。要解决问题，首先必须使用定量测量将其转换为数字表示。然后对表示进行建模和计算，以得出应用于现实世界的解决方案。
范式的第一步是测量——对现实世界情况的数值编码。例如，当伽利略研究匀加速运动时，他首先测量了球滚下不同长度的斜面所需的时间。类似地，会计师将物理商品、资产和交易清单转换为一组以共同货币单位表示的数量，并分配到不同的成本、收入、资产和负债账户中。在这两种情况下，最终产品都是数学表示。
接下来是操作，涉及使用数学技术和模型来处理表示。伽利略需要计算比率，以发现球滚下斜面的时间随着斜面距离的平方根增长。会计师计算利润作为总收入和成本之间的差额，并将股本计算为总资产和总负债之间的差额。在这两种情况下，最终产品都是数学结果。
最后一步是将数学结果应用于执行现实世界中的行动。在物理学中，它可能是设计一个依赖于运动定律的时钟，或者是基于对特定运动模型的拒绝做出科学决定。在会计中，它可能基于盈利能力计算做出投资决定，或者基于偿债能力计算做出破产决定。
今天，不同类型的数学引导的决策通常被视为根本不同的活动。使用数学来解释自然世界属于科学；使用几何计算来确定方向属于导航；使用会计计算进行商业决策属于财务分析。但这些实践在如何结合定量测量和数学操作来指导行为方面都有潜在的逻辑。
计算范式的起源和传播
计算范式的传播有什么证据？作为一种认知策略，计算范式接近人类学家所说的文化特征，或者文化传递的离散单元。人类学家通常从伴随的物品和行为模式的传播中推断文化特征的传播，类似于我们在创新叙述中的程序。然而，原则上，文化特征的传播也可以通过学习和模仿的过程直接观察到。虽然这在实践中通常很困难，但对于计算范式来说是可能的，因为数学几乎普遍通过学校和教科书材料学习。
使用这种策略，可以追溯计算范式在欧洲的起源到中世纪晚期阿拉伯数学的引入。中心是北意大利。这就是莱昂纳多·皮萨的《计算之书》于1202年出版的地方，从十三世纪开始，该地区广泛采用了印度-阿拉伯数字和相关的计算及问题解决方法。
计算范式的传播得到了一种新型教育机构的支持：算盘学校。这些学校迎合商人阶层，与传统的拉丁学校不同，它们用当地语言教学，并且放弃了古典研究，转而教授计算、测量和簿记等实用技能。以商业为重点，他们使用与货币兑换、劳动契约和利润分配相关的问题教授数学给年轻儿童。
算盘学校成为了一个强大的教育力量。在文艺复兴时期的佛罗伦萨，高达三分之一的男孩参加了算盘学校——著名学生包括“会计之父”卢卡·帕乔利和年轻的列奥纳多·达·芬奇。这些学校还为数学家创造了一个市场，使他们能够作为实用数学的教师谋生，即所谓的算盘大师。尼科洛·塔尔塔利亚——我们之前遇到的欧几里得翻译者和弹道学作家——就是一位算盘老师。
随着时间的推移，实用数学教育从意大利向北传播。在十五世纪的德国，所谓的Rechenmeisters建立了Rechenschulen，提供了实用的算术教育。到1615年，纽伦堡在一个不到5万人的城市中拥有不少于48所这样的学校。印刷机的传播支持了这一传播，它让数学家们能够通过流行的教科书接触到广泛的受众。许多成为了经典：亚当·里斯的1522年《Rechnung auff der Linihen und Federn》经历了114个版本，罗伯特·雷科德的1543年《艺术的基础》经历了46个版本。
最近，为了研究新数学的传播，历史学家拉法埃莱·丹娜编制了一个包含1280本实用算术文本的数据库，这些文本使用了印度-阿拉伯数字。该数据库包含了从1202年《计算之书》出版到1600年为止已知的所有手稿和印刷格式的算术手册。下面的地图显示了它们在空间和时间上的累积数量，展示了新数学最初集中在北意大利周围，然后在十五和十六世纪向外传播。
在十六世纪，新教也有助于数学技能的传播。新教改革者强调教育的重要性，既用于神学目的，也用于实际目的，菲利普·梅兰赫顿设计的新型教育计划——他本人是数学家和天文学家约翰内斯·施托夫勒的学生——数学在其中扮演了核心角色。法国人皮特·拉穆斯在十六世纪中期创建了一个旨在扩大和增强教育的计划。尽管拉穆斯不是数学家，但他坚信数学提供的实用技能的价值，并且这是他教育思想的核心。他的计划，被称为拉米斯主义，在德国、荷兰、英格兰、苏格兰、瑞典以及在一定程度上在法国的学校中获得了短期但重大的影响。尽管他的思想在十七世纪的影响减弱了，但在赢得英国内战并殖民新英格兰的宗教异见者中仍然相关。
在天主教欧洲，教育由耶稣会主导。成立于1540年，该秩序的一个关键目标是教育儿童和青年。他们的学校由他们建立的城市的捐款和付款资助，并且他们可以通过要求毕业生毕业后教授三到五年来迅速扩张。最初，耶稣会将数学教学作为与现有算盘学校竞争的工具，并且作为吸引当地赞助的方式。但他们的主要关注点是神学和古典学习，数学的角色仍然是有争议的。
当耶稣会在十六世纪末就他们的课程进行辩论时，杰出的数学家克拉维乌斯——他本人是耶稣会士——主张数学的核心角色，但他面临着那些希望优先考虑神学和哲学的人的反对。最终，他的计划被缩减，而在1599年的Ratio Studiorum中，将管理耶稣会教育两个世纪，数学只在100页文件中的几个段落中被提及，其学习被安排在七年课程的最后一年。耶稣会学校仍然培养了像勒内·笛卡尔这样的精英数学家，但通过将数学安排在漫长的古典课程的最后，他们阻碍了早期算盘学校和在新教国家中发现的拉米斯计划所青睐的实用算术技能的广泛传播。
传统大学对数学知识传播的影响是复杂的。在十四和十五世纪，巴黎和维也纳大学对阿拉伯数学的引入和发展做出了重大贡献，大学在推动数学知识前沿方面仍然很重要。梅兰赫顿为新教大学的教育计划授予了数学重要角色，但数学仍然面临着更注重语法、逻辑和修辞的传统学术课程的竞争。
有例外，特别是在拉米斯计划有影响力的领域，如十七世纪早期的荷兰和瑞典，以及十七世纪后期的苏格兰。当数学被认为符合国家的战略利益时，数学在高等教育中的扩张变得更加广泛。一个早期的例子是十七世纪的法国工程学院，这种做法在十八世纪传播开来，看到了以数学作为课程重要部分的军事高等教育学校的激增。
随着大学对计算范式的态度摇摆不定，实用数学教学证明是私人教育的肥沃领域，因为商业、导航和仪器制造等职业机会创造了为数学技能付费的意愿。在十七世纪，私人学院开始在英国形成，提供实用技能教学，如书写、复式簿记和算术。在十八世纪末，有200所这样的学院。英国还有为非英国国教徒提供教育的异议学院体系，他们被排除在常规高等教育之外。异议学院通常比传统高等教育机构提供更实用的教育。
数学技能的传播可以通过应用数学书籍的传播来量化。下图基于经济历史学家摩根·凯利和科尔马克·奥格拉达的研究，显示了在以下主题组中标题的英格兰出版书籍的数量：算术、天文仪器、簿记、指南针、几何、炮兵、对数、数学、数学仪器、测量、导航、造船、测量和三角学。我们看到，这些主题在十六世纪早期的英格兰几乎不存在，但到了1700年代，每个主题每十年都有数百本出版物。
数学、机械艺术和工业革命
到1750年，计算范式已经遍布欧洲。它支持了广泛的领域的创新，并在这个过程中为现代世界铺平了道路。但经典的工业革命还没有开始，数学在机械化生产领域还没有取得广泛的成功。
失败并不是因为缺乏兴趣。自文艺复兴以来，数学家们一直梦想征服机械艺术。莱昂纳多·达·芬奇研究了机械学的数学论述，并绘制了他著名的飞行器。1588年，意大利工程师拉梅利以一篇八页的前言介绍了他的机器图纸集，庆祝数学作为所有机械艺术的基础。
然而，在工业革命之前，愿望常常超越了成就。莱昂纳多的许多机器出了名的不可行，尽管拉梅利的机械书很受欢迎，但从业者仍然不以为然。在工业革命之前，实践者常常认为数学家是轻浮的。
这将在1750年后改变。在工业革命期间，工程师在将生产视为执行数学计划方面取得了显著的成功。为什么十八世纪的工程师在文艺复兴数学家失败的地方成功了？
一个重要的原因是，十八世纪的工程师能够在生产中实现更高程度的精确度。精确度对机械化至关重要，因为它减少了摩擦，并确保零件以统一的方式行为——即使是小的摩擦和性能变化也可能危及机器的精细运转。
更普遍地，精确度使得生产出符合数学理想化的现实世界物体成为可能。然后，工程师可以超越对机器的抽象构想，开始生产可靠的原型。工业革命的先驱们重视精确度，随着革命的加速，对精确度的要求变得越来越严格。在1770年代，詹姆斯·瓦特自豪地宣称他的蒸汽机汽缸的精度达到了1/20英寸。到了1850年代，约瑟夫·惠特沃斯的自动机器的目标精度达到了1/10,000英寸。
十八世纪的英格兰以其充足的能够进行高精度工作的工匠而脱颖而出。根据凯利和奥格拉达收集的证据，从1700年到1800年，英格兰的钟表匠和仪器制造商数量翻了一番。除了钟表，这些生产商还为数学学科如测量、导航、簿记和天文学制造仪器。这些行业的工匠在数学和手工劳动之间架起了桥梁——理解产品需要数学理解，而构建它们需要手工灵巧。当工业革命开始时，这些仪器制造商被招募来构建推动革命的复杂蒸汽和织布机。
设计工业革命的机器需要基本的算术和几何学：除非你遵循数学计划，否则你不能对精确度着迷。然而，所需的数学并不先进。一旦你掌握了基本数学并致力于将其应用于实践，主要挑战就是实施。
从这个角度来看，工业革命要求基本数学和定量观点达到实际从事生产的阶层。这就是在英国发生的事情。
虽然许多工业革命的先驱只有适度的正式教育，但他们找到了获得基本数学技能的方法。有时，村里学校的简短教育提供了数学培训。纺纱机发明家塞缪尔·克罗姆普顿年幼时失去了父亲，不得不从事纱线纺纱工作，但他去了一所学校的教师“作为书写、算术、簿记、几何、测量和数学的教师，尤其享有盛誉”。夜校迎合了那些错过了正式教育的人。这就是“铁路之父”乔治·斯蒂芬森18岁时学会写作和算术的方式。不断增长的教科书市场也使自学成为可能——这是著名钟表匠约翰·哈里森的路线。
先驱们的生活进一步证明了数学观点。约瑟夫·布拉马(1748-1814)是一位锁匠，为早期精密制造业做出了贡献。他12岁离开学校去父亲的农场工作，后来成为木匠学徒。但从《锁具构造基础论》中可以清楚地看出这种数学观点。这本书解释了布拉马的锁如何通过数学家现在所说的组合爆炸变得基本上无法破解：即使是一小部分物体也可以以惊人的方式排列。布拉马指出，即使一个锁只有12个可移动部件，每个部件有12个不同的位置，“它们的位置或位置的变化的最终数量是479,001,600；并且通过增加一个滑动部件，它们就能够接受变化的数量等于6,227,020,800；以此类推，通过类似的方式无限增加”。
另一个例子是布拉马最著名的弟子亨利·莫兹利，机床生产的创始人。莫兹利也在12岁时开始工作，但具有数学观点：他以对精确测量的不懈关注而闻名，发明了一种新型计算尺，并在个人生活中应用了一个系统，他根据0到100的等级对个人进行排名。显然，定量世界观不需要大学水平的微积分。
今天的计算
我们的叙述显示了现代世界的崛起与计算范式的传播有关。
在范式从十三世纪的阿拉伯语国家引入欧洲后，最初仅限于一些大学和意大利商业城镇。然而，范式找到了肥沃的土壤，并逐渐跨越空间传播，得到了印刷机和新型教育机构的支持。它还跨越了社会阶层，从最初在商人和大学教授中传播，到包括行政人员、工匠、小企业主和水手。到十八世纪末，范式甚至传到了塞缪尔·克罗姆普顿在英格兰北部博尔顿的简陋乡村学校。
在范式传播之后，我们看到了绘画、制图学、天文学、导航、物理学、国家治理、金融和会计等方面的创新，贯穿了整个早期现代时代。但有一个关键的例外：生产过程，长期以来数学家们未能弥合理论与实践之间的差距。在这里，十八世纪英国的突破是一类新的工程师和仪器制造商将基本数学技能与使数学思想可行所需的工艺结合起来。
我们的故事以1800年结束，当时范式最终到达了生产过程。在接下来的200年里，该范式继续传播，触及了更多的人和更多的领域。自从普及教育以来，我们已经期望所有儿童都知道如何使用印度-阿拉伯数字进行计算。具有启发性地，我们使用“基础算术”这个术语来描述一项技能，直到相对近期为止，它还仅限于专业专家，并没有在意大利北部的几个城镇之外广泛教授。
在过去的200年里，数学的影响几乎在人类活动的所有领域都加深了，得到了大量数据和计算能力的显著增加的支持。现在我们使用数学来模拟核战争、为棒球队挑选球员、追踪文学的变化，并预测总统选举。有时，似乎范式已经达到了它的极限；每一个可以从数学中受益的领域都已经引入了它。但我们可能现在正接近计算范式的最大成功：通过大型语言模型使用数学来模拟智能。从这个意义上说，计算范式可能正在达到它的逻辑结论：将我们所有人都变成数学家。
本文译自 Works in Progress，由 BALI 编辑发布。