台球几何：看似简单实则复杂的数学世界

看似简单的台球运动，背后却隐藏着复杂的数学奥秘。本文探讨了不同形状台球桌上的台球运动轨迹，从简单的矩形到复杂的三角形，介绍了数学家们为破解这些谜题所做的努力和取得的进展。

迪士尼1959年的电影《唐老鸭数学奇幻之旅》中，唐老鸭受解说员对台球几何描述的启发，充满活力地击打球杆，将球送入球桌四周弹射，最后才击中目标球。唐老鸭问道：“你认为这跟数学有关吗？”

由于矩形台球桌的四面墙呈直角相交，像唐老鸭这样的台球轨迹是可以预测和理解的，即使在实践中很难实现。然而，研究数学家仍然无法回答其他多边形(具有平坦面的形状)台球桌上的基本轨迹问题。即使是最简单的多边形——三角形，也仍然存在着谜团。

球是否总能击中一个点，使其以相同的方向返回到起始点，从而创建一个所谓的周期轨道？没有人知道。对于其他更复杂的形状，从桌子的任何一点击球到桌子的任何其他一点是否可能，这也是未知的。

尽管这些问题似乎与高中几何教学的内容紧密相关，但试图解决它们需要世界上最杰出的数学家引入来自离散动力系统、拓扑学和微分几何等不同领域的思想。与任何伟大的数学问题一样，解决这些问题的工作创造了新的数学，并反过来推动了这些其他领域的知识进步。然而，尽管付出了所有努力，以及现代计算机带来的洞察力，这些看似简单的問題仍然顽强地抵制解决。

以下是一些数学家自唐老鸭史诗般纠结的射门以来对台球的了解。

他们通常假设他们的台球是一个无限小的无维点，并且它以完美的对称性从墙壁上反弹，离开时与到达时的角度相同，如下所示。

如果没有摩擦，球会无限期地移动，除非它到达一个角落，这会像球袋一样停止球。台球如此难以用数学分析的原因是，两个几乎相同的球落在角落的两侧可能会有完全不同的轨迹。

分析多边形台球的一个关键方法不是将球想象成从桌边弹射，而是想象每次球撞到墙上，它都会继续进入一个翻转边缘的新副本桌子，产生镜像。这个过程(见下文)称为台球路径的展开，使球能够以直线轨迹继续。通过将想象的桌子折叠回其邻居上，您可以恢复球的实际轨迹。这种数学技巧可以证明一些轨迹，否则很难看到。

例如，它可以用来展示为什么简单的矩形桌子通过每个点具有无穷多个周期轨迹。类似的论证适用于任何矩形，但为了具体说明，想象一张宽是长两倍的桌子。

假设您想找到一个周期轨道，该轨道在长方向上穿过 n 次桌子，在短方向上穿过 m 次。由于矩形的每个镜像都对应于球从墙上反弹，因此为了使球以相同的方向返回到其起始点，其轨迹必须在两个方向上都穿过偶数次。因此，m 和 n 必须是偶数。布置一个由相同矩形组成的网格，每个矩形都被视为其邻居的镜像。从原始桌子上的一个点到长方向上 n 个桌子，短方向上 m 个桌子远处的副本上的相同点绘制一条线段。如果路径穿过角落，请稍微调整原始点。这里是一个示例，其中 n = 2 和 m = 6。折叠后，该路径产生一个周期轨迹，如绿色矩形所示。

三角形不等式

三角形台球没有矩形的直角几何那么好，所以它更复杂。正如您可能从高中几何中记住的，有几种三角形：锐角三角形，所有三个内角都小于 90 度；直角三角形，有一个 90 度角；钝角三角形，有一个角大于 90 度。

形状像锐角和直角三角形的台球桌具有周期轨迹。但没有人知道钝角三角形是否也一样。

要找到锐角三角形中的周期轨迹，请从每个顶点向相对侧绘制一条垂直线，如下左侧所示。将直角发生的地方的点连接起来形成一个三角形，如下右侧所示。

这个内切三角形是一个周期台球轨迹，称为法格纳诺轨道，以乔瓦尼·法格纳诺命名，他在 1775 年证明了这个三角形具有所有内切三角形中最小的周长。

在 1990 年代初，华盛顿大学的弗雷德·霍尔特和莫斯科国立大学的格雷戈里·加尔佩林及其合作者独立证明了每个直角三角形都具有周期轨道。一种简单的方法是将三角形绕一条腿反射，然后再绕另一条腿反射，如下所示。

从一个垂直于斜边(三角形最长边)的轨迹开始。斜边及其第二次反射是平行的，因此连接它们的垂直线段对应于一个来回弹跳的轨迹：球以直角离开斜边，从两条腿反弹，以直角返回斜边，然后返回其路线。

但钝角三角形仍然是一个谜。在他们 1992 年的论文中，加尔佩林及其合作者提出了一种在钝角三角形中反射的方法，可以创建周期轨道，但这些方法只适用于一些特殊情况。然后，在 2008 年，布朗大学的理查德·施瓦茨证明了所有角度在 100 度或以下的钝角三角形都包含一个周期轨迹。他的方法是将问题分解成多个案例，并使用传统数学和计算机辅助验证每个案例。2018 年，阿尔伯塔大学的雅各布·加伯、博扬·马里诺夫、肯尼斯·摩尔和乔治·托卡尔斯基将这一阈值扩展到 112.3 度。(托卡尔斯基和马里诺夫花了十多年来追逐这个目标。)

拓扑转折

另一种方法已被用来证明，如果所有角度都是有理数，即可以表示为分数，那么具有更大角度的钝角三角形必须具有周期轨迹。该方法不是简单地在平面上复制多边形，而是将多边形的副本映射到拓扑表面，即一个或多个洞的甜甜圈。

如果您将矩形沿其短边反射，然后将两个矩形沿其最长边反射，制作四个原始矩形的版本，然后将顶部和底部粘合在一起，将左右粘合在一起，您将得到一个甜甜圈或圆环，如下所示。桌子上的台球轨迹对应于圆环上的轨迹，反之亦然。

在 1986 年的一篇具有里程碑意义的文章中，霍华德·马苏尔使用这种技术证明了所有具有有理角的多边形桌子都具有周期轨道。他的方法不仅适用于钝角三角形，也适用于更复杂的形状：不规则的 100 边桌子，或墙壁呈锯齿状的形状，只要角度是有理数，就存在周期轨道。

值得注意的是，多边形中存在一个周期轨道意味着存在无穷多个周期轨道；稍微改变轨迹将产生一系列相关的周期轨迹。

照明问题

具有凹角和凸角的形状会引发一个相关问题。与其问那些回到起点​​的轨迹，这个问题问的是轨迹是否可以访问给定桌子上的每个点。这被称为照明问题，因为我们可以将其理解为想象一束激光从包围台球桌的镜面墙上反射。我们要问的是，对于特定桌子上的两个点，是否可以始终将激光(理想化为无限细的光线)从一个点照射到另一个点。换句话说，如果我们在桌子的某个点放置一个灯泡，它会向各个方向照射，它会照亮整个房间吗？

对这个问题有两个主要的研究方向：找到无法照明的形状，并证明大量形状可以被照亮。虽然可以通过巧妙应用简单的数学来找到无法照明的奇特形状，但证明许多形状可以被照亮只有通过使用强大的数学工具才成为可能。

1958 年，后来获得 2020 年诺贝尔物理学奖的数学家罗杰·彭罗斯发现了一张曲面桌子，其中一个区域的任何点都无法照亮另一个区域的任何点。几十年来，没有人能够找到具有相同属性的多边形。但在 1995 年，托卡尔斯基利用三角形的简单事实创建了一个 26 边的块状多边形，其中两点相互不可达，如下所示。也就是说，从一个点发射的激光束，无论其方向如何，都无法击中另一个点。

托卡尔斯基在构建他的特殊桌子时使用的一个关键思想是，如果激光束从 45°-45°-90° 三角形的其中一个锐角开始，它永远不会返回到那个角。

他的锯齿形桌子由 29 个这样的三角形组成，巧妙地利用了这一事实。2019 年，当时还是特拉维夫大学的研究生阿米特·沃莱茨基应用了相同的技术来生成一个 22 边的形状(如下所示)。目前尚不清楚是否存在更少的边数的形状。

证明另一个方向的结果要困难得多。2014 年，斯坦福大学的数学家玛丽亚姆·米尔扎哈尼成为第一位获得菲尔兹奖(数学界最负盛名的奖项)的女性，因为她在黎曼曲面的模空间方面的工作，这是一种对马苏尔用来证明所有具有有理角的多边形桌子都具有周期轨迹的甜甜圈的概括。2016 年，巴黎-萨克雷大学的塞缪尔·勒利埃弗、法国国家科学研究中心的蒂埃里·蒙泰伊和特拉维夫大学的巴拉克·魏斯应用了米尔扎哈尼的许多结果，证明了有理多边形中的任何一点都照亮了除有限多个点之外的所有点。可能存在孤立的暗点(如托卡尔斯基和沃莱茨基的例子所示)，但不存在像彭罗斯例子中那样具有弯曲壁而不是直壁的暗区域。在沃莱茨基 2019 年的文章中，他通过证明只存在有限对不可照亮的点对，加强了这一结果。

遗憾的是，米尔扎哈尼于 2017 年年仅 40 岁时因癌症去世。她的工作似乎与台球室里的花式击球相去甚远。然而，分析台球轨迹表明，即使是最抽象的数学也可以与我们生活的现实世界联系起来。

本文译自 Quanta Magazine，由 超载鸡 编辑发布。