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数学家重新定义了球体
高维球体的结构比数学家认为的要多样得多。
如果你曾经在一个下雨的下午被困在交通堵塞中，你可能会看着雨滴在车窗上相互竞速。当两个雨滴碰撞时，它们会融合成一个新的雨滴，失去它们各自的身份。
这种融合是可能的，因为水滴几乎是球形的。当形状是可变的，就像雨滴一样，附加一个球体并不会改变任何东西。在数学的某些领域中，附加到一个球体上的球体仍然是一个球体，尽管可能更大或更不规则。如果将一个球体粘在一个甜甜圈上，你仍然得到一个甜甜圈，只是有一个水泡。但是如果两个甜甜圈合并在一起，它们就形成了一个有两个洞的形状。对于数学家来说，那完全是另一回事。
这种特性使得球体成为几何学家的重要测试案例。数学家经常可以通过观察将两个形状缝合在一起时发生的情况，将在球体上学到的经验应用到更复杂的形状上。事实上，他们可以将这种技术应用于任何流形，一类包括简单形状(如球体和甜甜圈)以及无限结构(如二维平面或三维空间)的数学对象。
球体在几何学的一个子学科，接触几何学中尤为重要。在接触几何学中，三维流形(如我们所生活的三维空间)上的每个点都对应一个平面。这些平面可以在点与点之间倾斜和扭曲。如果它们以满足某些数学标准的方式这样做，整个平面集被称为接触结构。一个流形(如三维空间)连同一个接触结构(所有平面)被称为接触流形。
尽管接触结构可能似乎只是装饰性的，但它们为它们所在的流形带来了基本的洞察力，以及与物理学的联系。现代数学家可以使用接触流形来重新阐述关于光的行为以及水在空间中流动方式的理论。
关于三维接触流形的结果经常回到球体上。如果你将一个接触球体粘在另一个接触流形上，比如一个三维甜甜圈，三维球体的接触结构可以向联合体捐赠一部分。如果你想证明一个甜甜圈可以有一个接触结构，使得它的平面在绕过甜甜圈孔洞时扭曲一千次，你可以首先在球体上构建该结构，然后通过在两个形状上切割一个小孔并沿边缘将它们拼接在一起，将其添加到甜甜圈上。乔治亚理工学院的数学家约翰·埃特纳尔说，数学家在探索在给定流形上可以存在哪些接触结构时，经常依赖于这个框架。他说：“他们做了很多工作，将问题简化为理解在球体上发生了什么。”
正如雷根斯堡大学的数学家乔纳森·鲍登所说：“如果你不能理解一个球体，我怎么可能理解其他任何东西呢？”
我们倾向于将球体视为简单的形状：它们只是离一个中心点固定距离的所有点。例如，一个圆是一维的，而一个普通篮球的二维表面也是一个球体的例子。但是当加入接触结构时，球体可能会变得比你想象的更复杂。而且，随着数学家试图整理一个无序的接触流形海洋，新类型的球体可以给他们提供关于他们可能从深处钓到的东西的线索。
在最近一篇在上周进行了实质性更新的论文中，四位数学家，鲍登(Bowden)、法比奥·吉罗内拉(Fabio Gironella)、阿古斯丁·莫雷诺(Agustin Moreno)和郑毅·周(Zhengyi Zhou)，发现了一种新类型的接触球，并由此推导出无限多个新的接触流形。
全接触运动
作为一个领域，接触几何学在几个世纪的时间里逐渐出现。尽管现代数学家回顾起来在17世纪的光学研究和19世纪的热力学研究中看到了接触几何学的暗示，但根据数学家汉斯约尔格·盖格斯(Hansjörg Geiges)对该主题的历史研究，直到20世纪50年代才在一篇论文中首次使用了“接触流形”这个短语。
到那个时候，数学家们已经意识到了一些接触流形的例子。由于技术原因，接触流形只能存在于奇数维度中。标准的三维空间具有一种由逐渐向前倾斜的平面行组成的接触结构。这种结构自然地延伸到数学家所称的三维球面。(这是一个四维球的表面，就像二维数学球是一个普通三维球的表面一样。)
从20世纪60年代末开始，数学家们开始提出新的接触流形的例子。1968年，米哈伊尔·格罗莫夫(Mikhael Gromov)在寻找某些流形(如三维空间)上的新接触结构方面取得了进展，1971年，让·马丁内(Jean Martinet)在所谓的紧致形状(有明确边界的有限形状)上找到了例子，如三维球面。1977年，罗伯特·卢茨(Robert Lutz)找到了一种在任何三维流形上创建新接触结构的方法。卢茨的构造方法涉及切开接触流形，将其扭曲，并以保持底层形状不变的方式将其缝合在一起，但强制接触结构进入新的配置。这导致了无限三维空间、三维球面和许多更奇怪的物体(例如一个立方体，在你把手伸进底部后，你会看到它从顶部垂下)的新接触结构。
然而，这些结果仍然让20世纪末的数学家们对接触流形有许多未解答的问题。有哪些接触结构存在？它们应该如何分类？“当数学家们接触某个主题时，他们总是想要对对象进行分类或理解，”斯坦福大学的数学家雅科夫·埃利亚舍伯格(Yakov Eliashberg)说道，他在接触几何学的早期发展中起到了重要作用。
在五维及以上的情况下，这些问题仍然没有得到解答。在三维情况下，大部分进展几乎都是由埃利亚舍伯格独自完成的，他在20世纪80年代从苏联移民到加利福尼亚州伯克利。
扭曲与呼喊
在伯克利的一位名叫耶稣·冈萨洛·佩雷斯(Jesús Gonzalo Pérez)的新朋友提出的一个问题的推动下，埃利亚舍伯格注意到使用卢茨的方法可以得到的所有三维接触流形都具有某些共同之处。1989年，他发表了一篇详细描述这些流形的开创性论文。他将这个新的接触流形类称为“过度扭曲”，因为接触结构的平面旋转了多次，超过了符合接触结构要求所需的扭曲。埃利亚舍伯格的1989年论文几乎回答了数学家们对三维过度扭曲流形可能有的任何问题，但其他任何接触流形，埃利亚舍伯格称之为“紧致”的，因为它的接触结构扭曲得很少，则更难以获得。
“虽然过度扭曲的结构存在很多，但紧致的接触结构更加罕见，或者至少更加难以理解，”海德堡大学的数学家莫雷诺说道。
过度扭曲和紧致接触流形之间的一个区别在于，如果我们将流形视为更大空间的边界。由于接触流形是奇数维的，它们总是形成偶数维流形的边界。(想象一下一维圆曲线围绕着二维圆盘，或者无限直线将二维平面切割成两个独立的半部分。)接触几何学有一个与之对应的偶数维几何学，称为辛几何学。数学家想知道接触流形的内部(总是偶数维)是否形成一个辛流形。
如果是这样，原始的接触流形被称为“可填充”。可填充是一种特殊的属性。埃利亚舍伯格和格罗莫夫在20世纪80年代和90年代初的结果表明，可填充的接触流形不能是过度扭曲的，它们必须是紧致的。但反过来的情况则更加模糊，一个流形是否紧致但不可填充？
“很长一段时间以来，紧致可能只是可填充的一种反映，”埃特纳尔说道。埃利亚舍伯格已经证明，三维球只有一种紧致的接触结构，它也是可填充的。但在2002年，与加州大学洛杉矶分校的本田光(Ko Honda)合作，埃特纳尔找到了一个三维接触流形的例子，它是紧致的但不可填充的。
在高维情况下，情况不确定。“我们有很多工具来研究三维接触结构，但在高维情况下几乎没有任何工具。这是一个真正的问题，”埃特纳尔说道。
“在接触拓扑学中，高维是真正的未知领域。人们对于其中发生的事情几乎一无所知，”本田说道。问题是：高维情况下是否存在紧致但不可填充的接触流形？如果存在，它们会是什么样子？
保持紧致
2013年，三位数学家找到了一种创建这种流形的方法，但“他们构建的流形实际上非常复杂，非常复杂，”埃特纳尔说道。他补充说，目前还不清楚这种复杂程度是否是必要的。如果是这样，那么紧致性和可填充性之间可能仍然存在着密切的联系，对于像球体这样简单的流形来说。
2015年，当时在慕尼黑大学的鲍登和两位合作者展示了一种方法，可以将某些接触流形进行精心切割和拼接，形成一个球体而不损害它们的接触结构。他们的工作表明，数学家不仅可以将接触结构从球体转移到更复杂的接触流形中(通常的情况)，还可以通过从更复杂的例子开始，在球体上创建全新的接触结构。
到2019年，他开始与吉罗内拉和莫雷诺合作。那一年，他们在几位前辈数学家的技术基础上发表了一篇论文。三人找到了具有辛填充的接触流形的例子，但这些填充是不稳定的：这些称为“弱填充”的填充在接触流形以适当的方式调整后会消失。
在疫情开始后，他们开始怀疑他们是否能够构建具有所需属性的球体。他们将一些接触流形进行精心改造，变成了球体：在这里切割一个孔，那里修补一下。完成后，他们拥有了一个无限的紧致但不可填充的球体集合。而且，由于球体可以将其接触结构的部分转移到其他流形中，这就创造了各种形状和类型的紧致但不可填充的接触流形。
三人向周展示了他们论文的早期草稿，希望他能校对其中的一些计算。周之前曾与莫雷诺和吉罗内拉合作过，并熟悉他们草稿中使用的一些技术。“我阅读了这篇论文，我意识到这有巨大的潜力可以得到更强的结果，”中国科学院的数学家周说道。他充满了新的想法回到了他们身边。
该团队将周的见解纳入了他们的论文中，并于2022年11月在网上发布了。他们的工作表明，五维及以上的紧致但不可填充的球体是可能存在的。然后，在上周，他们通过一个重要的概括更新了论文。他们现在能够找到七维或更高维度的任何流形的紧致但不可填充的接触结构。
尽管他们的证明揭示了无限数量的新例子，对于高维接触流形的研究，甚至是高维球体的研究，才刚刚开始。
“这给我们提供了一个对一个看似非常复杂的世界的一瞥，”莫雷诺说道，后来补充道：“高维度将吸引未来几代人的关注，我想说。”“现在，你只是试图找到任何例子；你试图区分事物；你只是试图了解那里有什么。而理解球体上的情况是理解其他情况的种子，”埃特纳尔说道。“我们还没有工具迈出下一步。”
本文译自 Quanta Magazine，由 BALI 编辑发布。