无厘头研究
数学家证明莫比乌斯带的长宽比必须大于√3
一位数学家证明回答这个问题的过程中遇到了一些曲折。
任何试图更好地理解莫比乌斯带的努力都必然会遇到一些困难。这些扭曲的环形非常奇怪，以至于数学家们无法回答一些基本的问题。例如：“给定宽度的纸带，你能制作出的最短的莫比乌斯带是什么？”这个问题吸引了数学家Richard Evan Schwartz。电脑程序中的一个错误几乎阻止了他找到答案。最后，简单地玩弄纸带帮助他解开了这个谜团。
莫比乌斯带是一种数学上的奇特现象，任何人都可以制作。切开一条纸带，将一端扭转一半，然后把两端粘在一起形成一个带有扭曲的环。结果是一个单面的表面。这些环激发了数学家、艺术家和各种领域的科学家(SN: 5/27/22)的灵感。
制作一条又长又细的莫比乌斯带比制作一条又短又粗的要容易。对于非常短的环，纸张必须弯曲得非常厉害，以至于变成一个等边三角形。 (如果你慢慢地把一个未粘贴的莫比乌斯带的一端拉紧，你可以看到这种形状的形成。)三角形莫比乌斯带是由一段长度为 √3，或者大约1.73倍宽度的纸张制成的。
1977年，数学家假设三角形莫比乌斯带是你能做的最短的。具体来说，它是一个理想化的数学版本的无限薄、光滑和不可伸长的纸张，就像现实中的纸张一样，不能穿过自己。但在接下来的近50年中，没有人能够证明这一点。数学家们只能证明莫比乌斯带的长度与宽度之比必须大于π/2，或者大约1.57。
这个难题引起了Schwartz的兴趣。他喜欢简单的问题，这些问题让数学家们困惑不解。“我喜欢没人知道该怎么做的时候，”他说。作为一个额外的奖励：“如果我在这个问题上失败了，也没有什么耻辱。我和其他人一样。”
Schwartz关注莫比乌斯带的一个关键属性：虽然纸张弯曲成环，但在环的每个点，都有一个方向可以让纸张从边缘到边缘直线运动，没有任何弯曲。(这并非对所有曲面都成立。想想一个碗：曲面上找不到任何直线。)他意识到，在任何莫比乌斯带中，总是会有两条垂直的且在同一个平面上的这样的线，就像字母T一样。
基于纸张为形成这种T形状所做的弯曲，Schwartz找到了一个新的最小长度与宽度之比。令他失望的是，这不是√3，而是一个非常接近它的数字，约为1.69，他在2021年的《Geometriae Dedicata》上报告。
Schwartz转而进行其他课题，但是无法停止思考这个问题。有一天，他一时兴起，开始玩弄纸带。在一个令人头痛的震撼下，他意识到自己犯了一个错误。
Schwartz假设沿着对角线切开莫比乌斯带并扁平化会形成一个平行四边形。但是当Schwartz切开他的纸质莫比乌斯带时，他看到的不是一个平行四边形，而是一个梯形。“我立刻说，‘嗯哼，’”他说。
这是一个简单的错误。但是Schwartz主要是在电脑上调查莫比乌斯带。他搞砸了电脑程序的设置，导致了这个平行四边形的错误。“一旦我犯了这个错误，”他说，“就好像它被锁在我的脑子里一样。”
Schwartz说，他在研究中几乎从来没有使用纸质莫比乌斯带。但这就是需要用来震撼他出现在停滞思维模式中的东西。令人奇怪的是，Schwartz没有早些时候转向纸张。他把纸张当作一种业余爱好，设计悬挂纸张的精致面具。
当Schwartz用梯形修复计算时，√3弹了出来。他终于证明了，莫比乌斯带的长度必须大于其宽度的√3倍，Schwartz在2021年8月24日在arXiv.org上报告。三角形莫比乌斯带真的是纸质莫比乌斯带的极限。
现在，Schwartz有兴趣进一步研究这项工作。如果环有两个扭曲，或者三个扭曲，而不是一个，最小长度是多少？这次，也许，他会花更多时间玩弄纸张。
本文译自 sciencenews，由 BALI 编辑发布。