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沉寂40年后，最小三角形难题终获突破
概要：
20世纪40年代，德国数学家Heilbronn提出一个简单但难解的问题:在一个正方形内放置n个点，这些点能形成多个三角形，其中面积最小的一个三角形最大可能是多大。他猜测上限约为1/n^2。80年代数学家证明上限略大于1/n^2，也给出了一个更低的上限1/n^8/7。这个40多年未被突破的界限终于在今年5月被降低，三位数学家使用新方法证明了一个稍低的上界，给这个历史性难题带来重大突破。他们的工作融入了其他数学领域的成果，也使人对最终解感到期待。
考虑一个正方形，里面散布着许多点。从这些点中取三个，就可以组成一个三角形。四个点可以定义四个不同的三角形。十个点可以定义120个三角形。随着点数的增加，组合数量迅速增长：100个点可以定义161700个不同的三角形。每个三角形当然都有其特定的面积。
20世纪40年代末，德国数学家Hans Heilbronn在英国看到一群士兵时，想到了这些三角形。士兵们似乎并不是排成方阵，这激发了他的思考：如果一个正方形内有n个士兵，由他们中的三个定义的最大和最小三角形的面积是多少？Heilbronn想知道如何安排士兵(或为了数学简化，点)以最大化最小三角形的面积。
这个问题简单明了，但对“Heilbronn三角形问题”的研究进展十分艰难，20世纪80年代结果就完全停滞了。然而就在今年5月，三位数学家宣布对最小三角形面积大小的新的上限。这是一个令人惊艳的结果，表明这个长期停滞的问题终于有了突破。
通过把三个点放得非常接近，可以使一个配置中的最小三角形面积变得任意小。但要使最小三角形面积尽可能大则比较困难。随着点数增加，最小三角形被迫变得很小，新点离已有点的距离不能太远。比较容易证明，最小三角形面积不可能大于1/(n-2)，方法是将正方形分割成不重叠的三角形。
但Heilbronn认为实际上限比这更小，无论点如何布置，最小三角形面积不可能大于大约1/n^2，这个数字随n增长迅速减小。他错了。
给定任意两个点就能创建一个条带。三角形问题等同于计算条带中是否包含集合中的第三个点。
1980年，匈牙利数学家Komlós、Pintz和Szemerédi找到了一个点阵，其最小三角形面积比1/n^2略大一点。在同期发表的另一篇论文中，他们又证明了无法布置n个点使最小三角形大于约1/n^8/7。当n很大时，这个数远远小于1/n，但也远远大于1/n^2。
这些结果维持了40多年。“无论是提高或者降低界限，都需要大量技术分析和创造力。” Bloom说。
Cohen、Pohoata和Zakharov终于在四十年后的今天成功降低了上界。他们的论文还融入了更多新的数学领域。“他们使用了大量的工具和不同的洞察力。” Bloom说，他预计这篇新论文将推动三角形问题研究出现复苏。一些数学家相信真正的解可能接近Heilbronn的原始猜想1/n^2，但也有人期待会得到不同的答案。无论如何，这个突破为解决这个难题带来了希望。
本文译自 Quanta Magazine，由 BALI 编辑发布。