脑力小体操 数学小魔术之还原多项式

澳洲著名的硬科幻作家(科幻史上最硬的两部科幻小说之一，就是出自其手)格雷格·伊根，也是最神秘的科幻小说家。他不参加任何科幻小说大会也不参与签售，并表示从未在网络上留下任何个人照片。

不过他的个人推特倒是蛮活跃的。之前他like了一篇推文，内容是一个数学游戏。

那篇推文的发布者请关注者随意构造一个多项式P(x)。唯一的限制是各项系数必须是非负整数。

然后计算P(1)，P(P(1))的数值，把结果告诉那位博主，博主则凭借这两个数字，还原出多项式P(x)本身。

感兴趣的朋友可以思考一下其中的诀窍何在？(此为问题Ⅰ)。

另外发散一下。

上面的过程本质上是一个黑盒子，我们通过输入结果，反推出黑盒子自身的机制。

在原始问题里，我们先输入1，返回一个结果P(1)；然后把P(1)输入黑盒子，得到了P(P(1))。亦即我们用了两次输入，才搞清黑盒子P(x)的结构。

现在问，假如我们拥有无限的计算力(可以瞬间计算出任何可计算的东西)，那是否可把输入次数限制在1次呢？单凭1次输入的返回结果确定P。

PS 关于第二问有一种最简单的情况：如果要求每个系数都是个位数(就是从0-9)，则我们输入10就成了——结果会返回一个10进制整数，每个数位上的数字就是各项系数。

假设某个医疗资源紧缺的场景，有3个医生和3个病人，每个医生都必须各自为每个病人进行一些有创医学处理(每个医生都要处理3个病人，接触次数是3*3=9)。

因为资源紧张，总共只有4副外科手套。所以允许手套重复使用。不允许手套翻面使用，也不能消毒清洗(注意，这是数学问题啦，不是真的医疗问题，这里仅是提供一个便于理解和表述的背景)。

必须满足基本的卫生要求，手套的每个面只能接触同一个人的皮肤。比如说A医生戴1号手套为患者甲清理伤口溃烂，则1号手套的内侧就锁定是A医生，而外侧就锁定是患者甲。

但是允许B医生戴着2号手套，再套上1号手套为甲包扎。这里还要注意这种情况，如果2号手套之前被用于给患者乙动过手术，再套上1号手套，则相当于1号手套内侧被污染了，A医生就不能再直接使用了。

现在问，你能为3个医生和3个病人设计出4副外科手套的分配方案吗？

评论区的高赞答案来自mmmaa:

a①②1 a①③2 a①3
a① ②1 ③2 ①3

b②1 b②③2 b②①3
b② (②1+②③)=>1③ (②1+②①)=>1① (②1, ③2, ①3)

c④①3 c④③2 c④②1
c④ (④①+1①)=>④1 (④③+1③)=>④1 (④②+b②)=>④b (①3, ③2, ②1)