真化圆为方：你能把圆分解成有限个小碎片，再用碎片拼出一个正方形吗

公元前450年左右，克拉佐梅奈(现土耳其境内)的哲学家、天文学家和数学家Anaxagoras有大把闲暇时间用来思考。这位数学家因声称太阳根本不是神，而是和伯罗奔尼撒半岛一样大的炽热岩石，这种亵渎言论而入狱。

这位相信“理性统治世界”的哲学家，在监禁期间提出了一个现在著名的数学问题，即尺规作图里的化圆为方：仅使用圆规和没刻度的直尺，你能画出一个与给定圆等面积的正方形吗？

尺规作图有三大作图不能问题，另两个分别是三等分角和倍立方。

所谓倍立方，就是给你单位长度，要你画出一个线段，使以该线段为边楞的立方体的体积=2

Anaxagoras提出的问题在1882年得到了答案，当时德国数学家费迪南德·冯·林德曼Ferdinand von Lindemann 证明，这是一个尺规作图不能问题。他证明圆周率π是一种特殊的数字，称之为超越数(超越数还包括e)。因为之前的结果表明，不可能用圆规和直尺来构造一个等于超越数的长度，所以也不可能用这种方法来化圆为方。

原本故事可以在这里画上句号。但1925年，阿尔弗雷德·塔斯基(百年里最重要的逻辑学家之一)通过调整规则重新提出了这个问题。他问，是否可以通过将一个圆盘切成有限数量的小块，用它们重新拼出一个正方形来？这种方法被称为等分解。

上周，华威大学的 Andras Máthé 和 Oleg Pikhurko 以及维多利亚大学的 Jonathan Noel 在网上发表的一篇论文为这一古老的问题添加了新的内容。作者展示了如何通过将圆切割成可以可视化和可绘制的小块来化为正方形。

“如果你可以将它们分成有限的多个部分，使得相应的部分彼此一致，那么两个对象就是等分的。”Pikhurko说。

1964 年的一篇论文首次在塔斯基版的问题上取得了实质性进展。作者表明，用剪刀无法完成等分解。如果可能的话，这项任务将需要更复杂的分形碎片，布满孔洞和错综复杂的锯齿状边缘。

直到1990年，Miklós Laczkovich 响亮地回答了塔斯基的问题：圆形可以重新配置为方形。

为了形象化 Laczkovich 的成就，想象一个圆形和方形并排在平面上。他证明，如果将圆形划分为最多10^50个小块，所有这些块都复杂且形状大不寻常，那么这些块可以被移动到正方形上——甚至不需要旋转——直到它们完全填满正方形。

但是为了达到这个结果，Laczkovich 没有借助图像。相反，他将几何问题转化为图论问题。他描绘出一张带有两组不同顶点的大图——一组对应于圆形，另一组对应于正方形——然后在一组顶点与另一组顶点之间建立了一对一的对应关系。

Macalester学院的数学家Stan Wagon 将他的结果描述为“令人瞠目结舌”。 Laczkovich展示了如何“取一个圆形空间并使其横平竖直”。

然而，有一个问题。Laczkovich 的证明是存在性证明，数学家称之为“非构造性的”。他证明了这是可以做到的，但他不能说出如何构建，也不能以任何具体方式描述它们。更糟糕的是，这些碎片是“勒贝格不可测的”，这意味着无法确定它们的面积。

20多年后，在 Łukasz Grabowski、Máthé 和 Pikhurko 于 2016 年 1 月发表的一篇论文中，又迈出了一大步。与 Laczkovich 的不同，他们的证明几乎是完全构造性的，这意味着这些部分大多是明确定义的。但同样有一个小问题：圆中定义明确的部分不会填满整个正方形。仍然需要额外的部分来覆盖正方形的一小部分。这部分非常小，没有面积，数学家将其称为“勒贝格零测度集”。

“几乎所有的面积都被安排好了，”加州大学洛杉矶分校的数学家 Andrew Marks说，“但你甚至不能画出丢失的部分，因为它们是不可见的。”

Marks说，尽管有这些必要的额外部分，但结果是向前迈出了一大步。“他们找到了一种方法来使几乎全部的正方形都有效地被圆的组分填满——除了一组零测度集之外的所有地方。”

当时Marks与现在在多伦多大学的 Spencer Unger 一起继续攻克这一问题，一年后取得了重大进展，提供了第一个完全构造性的化圆为方的证明——一个在任何地方都有可度量面积的证明，无一例外。他们的论文完整地描述了使圆成方形所需的所有部分。 “他们的作品更好，”Máthé 说，“他们没用到丑陋的零测度集。”

也就是说，他们的证明涉及更多的碎片——大约10^200个——而且这些碎片仍然相当复杂。“我们论文的缺点，即使这些片段是从数学的角度明确定义的，也很难将它们可视化。”

这留下了一些改进的空间，现在终于轮到 Máthé、Noel 和 Pikhurko 出场了。他们的作品，也是把圆分为约10^200块，但形状更简单，更容易形象化。甚至可以做成演示视频。

“这里最大的飞跃是，你无法直观绘制出Spencer和我的作品，但他们的作品，你可以。” Marks说。

但这也不是故事的结局。加州理工学院的数学家Alexander Kechris说，这个问题“还有更多的内容可以挖掘。这是一个过程。”

Pikhurko已经有了进一步简化拼图碎片的想法，减少总数和不均匀性。Marks 做过的计算机实验表明——但未证明——分解可以至多用22块来完成。他认为最低数字可能会更低。

“我敢打赌，你可以用不到20 块来化圆为方。”他说，“但我不会赌1000美元。”

https://www.quantamagazine.org/an-ancient-geometry-problem-falls-to-new-mathematical-techniques-20220208/