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@ 2022.02.09 , 23:58

有点有限的棋类游戏:Dodgem

去年最后一期的脑力小体操,本来是想介绍一个我以前玩过的棋类游戏。这个棋的特定就是规则简单,但当规模变大时,又有最够的深度;可以在有限步内结束,同时保证不会平局——必有胜负。但当时其中一条规则怎么也想不起来了。之后凭记忆查了资料,总算功夫不负有心人。

专栏作家Colin Vout发明了一种棋类游戏,名字叫Dodgem。棋盘是n×n个格子,两边各有n-1个棋子。下图就是3×3的棋盘。

有点有限的棋类游戏:Dodgem

两个玩家不是坐对面,而是邻座。游戏目标是,白棋从上走出棋盘,黑棋从最右边走出棋盘。谁先全部走完谁胜利。

两边轮流走棋,一次一步。每个棋子可以向邻近的格子移动。但除了从规定的边沿走出棋盘外,不可以走出棋盘。也不能走到已被其它棋子占据的格子里。

每方的棋子,按玩家的视角,都不可以后退。也就是至多有三个选项——往前/往左/往右挪动一步。

上面的规则保证游戏是有限的:可在有限步内结束。

另外还有一个特殊的规则:用黑棋举例,如轮到白方走棋,但黑方棋子阻隔导致白方当轮无法移动任何一个棋子时,白棋直接获胜。反之,白方若导致黑棋无法挪动,则黑方直接获胜

显而易见,这个游戏不会出现平局。

两边轮流行动、彼此信息公开(任何策略和行动都反应在棋盘上,彼此可见)、有限步骤内可以结束的,且不会出现平局的游戏,这就叫somewhat finite game。后者在combinatorial game theory是比较有价值的考察对象,比如说可以构造超游戏Hypergame,乃至引出超游戏悖论The Hypergame Paradox。悖论具体为何,有机会再说。

目前,已知仅有3×3的Dodgem被完整分析过。可以证明先手必胜。

按文献,康威和盖在他们的名著《稳操胜券》一书里,分析了3×3的Dodgem。所以人们仍不知道,或者说没有动力去了解其他阶的Dodgem的完整策略。


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