@ 2021.07.10 , 01:30

脑力小体操:皖地某名校中考模拟里得分最低的小题

本期是不久前结束的,某地的中考模拟里的小题

注:知乎说法 最早出自2018年中考(滩高中)

脑力小体操:皖地某名校中考模拟里得分最低的小题

存在一个非常巧妙,可心算的解答。


应树洞里 nil 的提问:majer什么时候会更新脑力小体操的下一期啊,想看5月30号的“反直觉的骰子”的正确解答,一个多月了……

时隔一个月的上一期的题目,是14或者是17年,麻省理工的数学家Elchanan Mossel在研讨会上提出的问题。是新千年里难得的妙题:形式简单,但结果出人意料,发人深省。

现有一个理想的经典6面骰子。

假设“凑巧”每次投掷的时候,出现的全是奇数(点数∈{1、3、5})。

问:投出1点的平均等待次数是多少(算上成功投出1的那一次)?

原始表述 Elchanan Mossel’s Amazing Dice Paradox

You throw a die until you get 1. What is the expected number of throws (including the throw giving 1) conditioned on the event that all throws gave odd numbers?

从这个问题诞生一刻起,最关键之处就是如何表述它,让大众不至于“合法地”理解成“有个骰子,只能投掷出135”。我啰里啰嗦地诠释,外加直接提示了计算机模拟模型,就是为了凸显这一点。

实际上原问题早就在诸如科学网的博客或科研论坛上出现过,但不管是直接引用原文还是自行翻译,回复和评论里几乎全部都会误解成“答案就是3”的那个平凡模型。直到博主挨个回复解释,最后才能澄清问题的实质。

所以,如果大家觉得有清晰更好的翻译,可以发出来。以后说不定就成了Elchanan Mossel’s Amazing Dice Paradox的标准汉语表述。

现在 ID名为随便的朋友 提供一个备选:

假设你一直投一枚经典理想六面骰子,直到投出点数“1”才停止。如果计算投掷次数时包括最后投出点数“1”的那一下,试求停止投骰子前投出点数均为奇数时投掷次数的期望值。

评论里wdw的解答十分精彩,实际上,当时在座的研究生给出的最佳解答本质上也就是下面的:

代码跑出来大概是1.5. 可能大家一开始会想色子只能投出1,3,5.就相当于一个一个只有{1,3,5}的"三角形"色子,那么这就是一个几何分布,期望就是3.但可惜并不是. 这样考虑:1,2,4,6,这四个数字都会使得实验终止,不妨把他们看成一样的.那么实验终止就是几何分布,P(某次投色子,实验终止)=2/3,期望次数为3/2.而题目相当于在所有结果里扔掉均匀3/4,由于1,2,4,6是对等的,所以期望依然是3/2.

另外,当时下面有两条蠢不自知的评论也收获了数十个赞。但因为他们的思维bug比较微妙,详细解说就会显得啰嗦,不详细说,则等于没说。

当时我为了简化问题,直接给出了用计算机模拟上面投掷骰子的方式:

为了避免歧义,再解释一下怎么“凑巧”点数都是奇数。

就是在某轮实验里,在投出1之前,若投出了偶数,则本次实验无效,不计入统计。

最后在有效的实验场次里,计算平均等待时间/次数。

结果有评论嘲讽说:你觉得自己的表述很聪明?如果一开始就有上面这一段清晰无歧义的表述,又哪里反直觉了?

问题是,这一模拟过程本来应该是诸君自己从原始简短表达里自己推导出来的。我只是为了突出重点,直接把答案给了出来。然后把大家的注意力集中在理解为何是这个答案。否则,看英文原题,后面可没有任何解释哦。

一个简略但未失本质的类比是这样:

我说命题A是一个非常不好把握的命题,比如说,大家发现没有?A和命题B竟然是等价的!

然后这时候突然冒出一个评论者说:你觉得自己的表述很聪明吗?你一开始就用命题B,有什么难以把握的?

但原本之所以把命题A特意拿出来就是鼓动大家玩味、思考并建立它与B的等价性。

如果有谁认为下面的表述是“歧义性”的文字游戏,那也就是说他认为,存在把模型理解成一个只有3个点的骰子。但后一模型是没有依据的。实际上,整个问题想要让大家思考的一点就是为何这个是没有道理的(以及正确的模拟方式为何是正确的)。所以根本就没有歧义和文字游戏。

假设“凑巧”每次投掷的时候,出现的全是奇数(点数∈{1、3、5})。

问:投出1点的平均等待次数是多少(算上成功投出1的那一次)?

再重复一遍:没有歧义性,用计算机模拟这一过程也就是清晰的。但这本来应该是解答者从上面的语句里自己想出。

再说明白点,原始问题的困难之处就是想明白 {假设“凑巧”每次投掷的时候,出现的全是奇数(点数∈{1、3、5})。问:投出1点的平均等待次数是多少(算上成功投出1的那一次)?}描述的可经数值实验的过程,其实是{某轮实验里,在投出1之前,若投出了偶数,则本次实验无效,不计入统计。最后在有效的实验场次里,计算平均等待时间/次数。}

我为了方便大家思考,直接把需要“想明白”的东西,写了出来,把注意力集中在更加思辨性的东西/活动——想——上。

有个评论指出

这个就是个条件期望... 扔一个骰子, 遇到6就停, 那么看到的都是偶数的概率是1/4... 所以在看到的都是偶数的条件下, 每一次出现6的概率是(1/6)/(1/4) = 2/3...

您这不就是从原博客下面抄了个错误答案过来吗,又或者答案当年就是来自您的回复?


今天忍不住了,多吐槽一下。顺便普及一个常识。

我小时候第一次思考怎么用圆规三等分角的时候,意外发现作图方法十分简单。这时候,我换了一个角度思考,说如果解答如此简单,那几千年来那些数学家都是弱智吗,还不如我一个初中生?经过这种反思,我确定“自己的做法有未发现问题”这一情况是最有可能的,然后经反复思考,果然找到了自己的错误。

后来我把这种反思方式命名为“别把别人当傻x”定律。因为从逻辑上说,把别人当xx不会带来任何实质上的优势。

比如说下棋的时候,别人走出明显有问题一步,你是想“哈哈,傻x,白送我一个炮”,还是想这是不是个陷阱,我吃了它,就进入连杀落败的局面?

确实存在前者的可能性,但是理性人显然应该选择后者的思考方式,因为它相当于为我们的思考提供了“额外的”信息支撑,可以帮助我们避免落败,而前者实际上是屏蔽了部分信息,只能带来无意义的优越感。在当前的社会下,信息(而不是伪信息)越多自然越有利。后来我上了大学,发现“别把别人当傻x”定律在博弈理论和经济学里早有反映。

另外,除了“别把别人当傻x”定律之外,还有一个定律是 “如果一个人的行为可以用蠢解释,也可以用坏解释,则最好先用蠢解释”。

所以,今天,也包括以前,对于就事论事的评论,我还会专门解释一下。就像今天,我只是不大耐烦但对特意回复的评论也没啥恶感。哪怕是纯负面评价,只要没有上脏话,我也会让它过,有时候还会特意去过滤掉的垃圾箱里恢复一下被拦截评论。因为有几位喜欢长评,长评就容易触发过滤。人家辛辛苦苦打出来的东西值得分享。但也有几位几乎就没有在新鲜事下面就事论事过,每次都是单纯过来阴阳怪气一下,不过我也会让评论显示出来,只不过不会去回复,毕竟能理解成那啥,就先别把人家当坏x不是。


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