突破：构造出限空间中离散扩散方程的解析解

布里斯托大学的学者解决了一个100年历史的物理问题(有限空间中的离散扩散方程)，在统计/数学物理领域取得了里程碑式的突破。

我们长期以来，一直期望能够从理论上预测封闭环境中多个运动个体之间的相遇和传播概率。现在通常解决的手段是，用计算机耗时费力地模拟整个系统的演进过程。

布里斯托大学工程数学系的Luca Giuggioli博士发表在Physical Review X上的论文，描述了如何计算扩散粒子或实体在空间中占据(在离散时间和离散空间中)的概率，只用计算就能实现功能。

Giuggioli博士说：“模拟随机运动的扩散方程，是物理学的基本方程之一。当时间和空间连续时，有限域中扩散方程的解析解早已为人所知。但是，要将模型与经验观察相比较，就需要研究有限空间中的扩散方程。尽管Smoluchowski，Pólya和其他先驱做出了杰出的工作，但这在一个多世纪以来一直是一个突出的问题。令人兴奋的是，这种精确的解析解的发现使我们能够解决过去由于计算成本过高而几乎不可能解决的问题。”

这一发现对一系列学科具有深远的影响，可能的应用包括预测分子在细胞内扩散，细菌在培养皿中漫游，自然环境中觅食的动物或在灾区搜寻救援的路线。

它甚至可以用来预测病原体如何在个体之间传播。

为了解决这一问题，Giuggioli用到了被称为Chebyshev多项式的特殊函数，以及为解决静电学问题而发明的技术，所谓的图像方法镜像法。这套组合工具使Giuggioli可以从较低维度中的层次开始，逐步构造高维离散扩散方程的解。

本文译自 phys，由 majer 编辑发布。