走进科学
如何画一条直线
线性回归
如何穿越平面上的一组「点」，画一条「最佳」的直线？当然不能随手乱画，你得尽量靠近所有的点。
让我把这件事情说得再明白一些。假设，你正在做一项科学实验，实验中有很多的采集来的数据被输入，每一份数据都经过你的实验（计算）得到一个结果。你想要在数据和结果之间，找到某种联系。
数学家喜欢用「因变量」和「自变量」来描述数值。所以，实验中采集来，用来输入的数据叫做「自变量」，经过实验得到的数据叫「因变量」（因为它们依赖于你的实验设计。）
（小编：其实我觉得英文说得更直白：dependent variables（因变量） 和 independent variables（自变量） 而已）
在我们的例子中，我们试图找到数据中的「直接关系」（成比例关系）。我们想要画一条直线，穿越在这些数值，其实，这就是在找它们的「线性相关」。
有一个统计学上的，牛逼的词来表示「自变量」和「因变量」之间的关系，叫做：回归（Regression）。
因为我们要在这些数据之间，画一条穿越的直线， 因此也有一个牛逼词，把我们这种做法叫做：线性回归（Linear Regression）
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数据
当然，在这些数据点之间，可以画出无数条穿越它们的直线。但是显然，它们中间有「最贴合」所有点的一条直线存在。我们要做的，就是评价每条直线的「品质」，然后选出质量最好的那一条。
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如果我们能给待选的某条直线列一个等式，加上我们的老冤家「微积分」的帮忙，就能给这个等式对于这些数据点的有效使用打分，以此来找出「最优解」。
现在假设我们有 n 个点，每个点都是一个坐标：（xi, yi）
接着，我们就来找到穿越这些点的直线的方程……
把还给老师的给我拿回来！
呃……可能你们还不习惯在煎蛋上看到数学文，但这绝对是「节操大补丸」，周五来一粒，周一就可以随便 YD 去了，所以，速速随我去拜见一次几何老师。
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在平面上的任何一条直线，都可以只用两个参数表达，方法呢有很多种，但是为了方便起见，我们还是在笛卡尔坐标系下面干活，用（x,y）来描述点，然后来推导我们直线的等式。
任何一条直线，都可以用「斜率（Gradient）」，我们把它叫做 M …（你好 M，我是邦德……）
……
和「截距（intercept）」，我们称之为 C 来表示。
所谓「斜率」（M），指的是竖轴 y 的数值随着横轴 x 数值的变化而变化的幅度。而所谓「截距」（C）则是说在 x=0 的时候，y 的值。
小编：
你可以把「斜率」理解为这条直线的「陡峭程度」。把「截距」理解为这条直线在 Y 轴上下飘移了多少。
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我相信这点基础知识，现在已经还魂到了你的心中。
误差与残差（Errors and Residuals）
于是，我们要找的那条「最佳直线」，同样可以用 M 和 C 来描述。
我们要做的就是，找出最优的 M 和 C 的值，所以我们需要掌握一些优化这两个数值的方法。
除非所有的点都正好落在了这条直线上（那我们还要写这篇文章干嘛？！），在点和直线之间总有误差，这段误差的值是可以测量的，这个值就被称之为：残差（Residuals）。
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我们要找的这条直线，就是在它与所有点之间的残差的和，达到最小。但是只用「所有点的残差的和」来找，有两个明显的问题：首先，残差的值可能是正的（在直线之上），也可能是负的（在直线以下）。如果我们只是把残差简单相加，有可能得到完全错误的结果。其次，距离直线很远，具有很大残差值的点，并没有在「残差之和和」中体现出它的重要性（或者说权重），我们希望这些点对于结果起到更大的影响。
解决这两个问题的办法，就是求残差的「平方和」。
平方后的数（实数），它总是正的（这就解决了第一个问题），通过平方计算，这些分离主义分子得到了惩罚，他们的行为被放大（一个远离直线2的点，平方后得到了残差为4倍的惩罚，距离为3的点，得到了9倍的惩罚……）
如果我们把所有点的残差的平方数加起来，我们就得到了这条直线对于所有这些点的「契合度」。我们的目标，就是把这个值弄到最小。
这称为：最小二乘法（least square method）拟合。
还需要一步，然后才轮到我们的老冤家「微积分」！
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那如何得到这个残差的值呢？
我们的「自变量」是 x，我们通过观测得到的每一个「因变量」yi 都在这条直线上有一个对应的点。
因为有相同的 xi，我们可以把「因变量」yi，减去我们期望的值 y（通过直线等式得到），从而得到这个点的残差值。
小编：
你可以这么理解：在实验的某个时间点（Xi）上, 你得到了一个观测数据 Yi，把它减去你预测的在这个时间点上应该出现的（你想要的，漂亮的，可以拿来交差骗经费的）Y，就得到了这个「残差」。
动真格的数学
好了，现在准备好呕吐袋，你最想跳过的部分来了。
如上文所说，我们可以计算点与直线的上升方向的竖直距离来得到「残差」。
我们可以把直线的方程代入计算「残差」等式，然后取平方数：
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然后把所有点的「残差」的平方和统统加到一起，我们把这个数用符号 Q 表示：
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好了，我们要做的就是把这个 Q 弄到最小最小，就得到了我们想要的直线方程！现在召见我们的「微积分」，要使得 Q 最小，一阶导数为0，为了达到最小（或者最大），在这条曲线上的这个点的斜率为0。
以下是 Q 基于所求回归直线的参数 M 和 C 的「偏导数」。（这里我用了「链式法则」），我们希望这些东西=0，得到最小值：
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这两个等式可以展开，分别得到以下两个结果：
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然后我把两边都除以2，让式子看上去更养眼一些……：
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最后，我们可以把一些常数提取出来，得到一个非常有趣的结果。上面的等式中，可以简单地得到 nC。我们也可以把 M 从 x 的和前面提取出来。其他所有的计算线性回归所需要的数值都可以简单计算得到。
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最最后，来一些简单的等式间的代入（我们有两个等式和两个未知数），得到我们想要的东西：
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哒哒~~这就是求得穿越平面上 n 个点的那条直线：「最小二乘法线性回归线」！！
这两个等式实在堪称优雅。如果你仔细看，你会发现要求得这条直线，我们不必记住/存储所有的点的坐标，我们只要累积计算 x 和 y 的相加和就可以了！这样，在有新的点加入/删除的时候，我们只需简单相加相减就 OK 了。
对于所有的需要计算的点，我们只需要跟踪这些值：所有x 的和，所有 y 的和，所有 x·y 的积的和，所有 x 的和的平方，还有所有 x 的平方的和。（注意到最后两个的细微差异了么？）
更加 Geek
对于这个两个等式来说，最神奇的一点是在第二个等式，从本质上讲，就是基于点的y 坐标和 x 坐标的算数平均数。
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是的，就是这样简单！
试一下
原文网站上有两个交互式的 js 脚本，可以让你自己体验一下基于以上推导结果求得的最小二乘回归线。在这里我就放一个 GIF，有兴趣的同学点进原文网站体验一下。
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「残差」的几何意义
还有一种直观理解「残差」的方式，就是下图。在这个课件中，可以随机生成几个点，然后求出直线（灰色）。然后以可以移动鼠标，改变 M 和 C 的值，来感觉残差平方数的意义（红色的线）。
最匹配的那条回归线，所有点的残差的面积（平方数）加起来最小。无论你鼠标怎么动，蓝色区域的面积总是更大的。
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当鼠标在课件中心位置的时候，两条线应该重合。鼠标上下移动改变截距，左右移动改变斜率。
线性回归的应用
通过最小平方和求线性回归的应用场合太多太多了，这里拿谁举例子都显得不太公平。你应该用过 EXCEL 的数据图表中，就有这个功能。
注意
虽然线性回归看上去很酷，但它不总是万用灵丹。在使用它之前，你必须了解它的局限。
首先，对于那些「确实有线性倾向的数据」，通过最小残差平方和来计算很管用。但是如果你的数据内部没有这种线□□，那么虽然你也能得到一条直线，但它没有任何意义。
以下是四幅著名的图例，作者是剑桥著名的统计学家 Francis Anscombe。被称之为「安斯科姆四重奏」，它提醒我们，在分析数据之前，最好先看一下数据的图像！数据的分布形式，对结果有巨大的影响。
虽然他们的线性回归线一模一样，但是看看数据，你就知道这有多不靠谱了。
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不光是线型一样，还有很多其他数据也是这样具有迷惑性：
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两个因变量？
在上文的推导中，我们假设数据中一个是「自变量」，一个是「因变量」，这就是我们为什么通过测量竖直距离来得到「残差」，然后求残差平方和的得最小值。但是，这并不是唯一的方法。我们应该可以，比如说，已经筛选优化过了数据，使得点在 x 轴，或者 y 轴上的差异得到优化。
下图（1）中，我们在左侧放上两个点，右侧放上三个点。图（2）里，我们在上面放上两个点，下面放上三个点。你能否注意到，本质上这两幅图只是互相旋转了90度，竖直残差变成了水平残差而已，并且结果相同。
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（图1）
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（图2）
如果我们把每一个点（x,y）看做一次采样，而且我们假设所有的采样中的 x 这个自变量，全都符合正确的预期，就是等于我们的因变量x的值，那么所有的误差，全都是变量 y 中造成的。或者反过来，所有的误差都在 x 中，那么理论上说，这对求得回归线将很有意义。
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如果所有的数据都有相关性，那么求得回归线的最优解，就最好用点与直线的「垂直」距离来求平方和，并且使其最小。这种方法被称之为「完全最小二乘法」，它真的很酷，有兴趣的话可以读一下这里的文章。公式有点烦，但不会比上文的复杂太多。
如果所有的变量都有相同的范围和大小，这种技术将非常有用，但是如果 x 和 y 的范围和大小（或者误差）非常不同呢？如果在 x 轴上的变化会造成 y 轴上的巨大变化，那么计算垂直误差的方法的劣势就比较明显了，它会明显的向其中一个变量偏移。
如果 x 和 y 轴表示的是完全不同的对象的分量（比如一个是时间，一个是距离），它们之间的误差如何比较？
为了求出这样的线，我们需要把坐标轴缩放（理论上），让 x 和 y 轴上的误差在数值上相等。如果我们能做到这些，我们就能把这些点看成几何意义上的数值，计算垂直距离上的残差的平方和，并求出线性回归线。当然，这要求我们先得到误差差异的分部情况。
关于这条直线所饱含的知识，要比你想象的来的多。
本文译自 datagenetics，由 Junius 编辑发布。