产生任意三维折纸结构的折叠模式

在一个1999年的论文中，Erik Demaine——现在的麻省理工学院电子工程和计算机科学教授，那时的滑铁卢大学博士研究生，描述了一种能决定如何将一张纸折为任何可想象到的三维形状的方法。

在计算折纸研究领域那是一篇划时代的论文，但这种方法并没有得出非常实用的折叠模式。本质上，这需要非常长的一条纸带，将其做成期望的形状。得到的结构一般会有大量的缝合处，所以并不是很牢固。

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在7月举行的计算几何学讨论会上， Demaine和东京大学的Tomohiro Tachi将宣布由这篇论文衍生出来的完全版本：一个通用的折叠折纸形状的方法，保证了最少的缝合线。

Demaine说道：“在1999年，我们证实你可以折出任意多面体，但我们演示的方法却非常低效。如果最开始的纸非常细长那么是高效的。但如果从一张方形纸开始，那么以前的那个方法基本上会将这张方形纸折为薄薄的纸带，浪费大部分材料。新的研究成果保证更加高效。在如何折成多面体方面使用的是完全不同的策略。”

Demaine和Tachi正在实现这一算法，开发新版本的软件 Origamizer。这是一个免费软件，能产生折纸折痕模式，最初版本由Tachi在2008年放出。

保持边界

研究者的方法为产生任意多面体设计了折痕模式，即由很多平坦表面块构成的三维表面。比如计算机图形软件就把三维物体建模为由大量微小三角形组成的多面体。Demaine解释道：“利用大量的小型扁平表面块就可近似任意弯曲形状。”

从技术上讲，新的折叠技术会得到最少的缝合线这一保证意味着这能保留原始折纸的“边界”。例如，假设你有一张圆形的纸，想把它折为一个杯子。那么你可以在纸张中心留下一个较小的圆，然后把周边束拢到一起形成褶皱的杯子。实际上，某些水冷却杯子就是按照这种设计加工出来的。

在这种情况下，杯子的边界——边缘就与未折叠圆的一样了，即外边缘。但Demaine和他的同事早先的方法得到的产物却不是这样的。早先的方法中，杯子会由一条薄纸带像缠线圈那样一圈一圈缠出来，并且可能无法盛水。

Demaine说道：“新方法会给你更好更实际的折叠方法。我们不知道如何从数学上进行精确量化，但实际看起来的效果就是好得多。不过我们也有能明显区分两种方法的数学性质。新方法会将原始折纸的边界保持为你试图折成的表面的边界。我们将这称为水密性。”

一个封闭曲面，比如球体，没有边界，所以这种曲面的近似就会要求边界相接之处需要缝合。“但使用者能选择在哪个地方设置这个边界。你无法得到一个水密性的完全封闭曲面，因为某处必然会存在边界，但你可以选择边界的位置。”

点火

这一方法最开始将目标多面体的表面块绘制到扁平表面上。虽然当折叠完成时这些表面块会相互接触，但在平坦表面上时相互之间可能相距很远。“把所有多余材料都折叠起来，将多面体的表面块结合到一起。”

将多余材料折叠起来是一个非常复杂的过程。将几个表面块折合到一起可能会涉及数十个甚至上百个单独的折痕。

设计一种自动计算这些折痕模式的方法需要大量不同的见解，但最中心的一个是他们可以由沃罗诺伊图近似。为了理解这个概念，想象一个草原。有很多地方都同时着火，并且都以相同的速度向所有方向蔓延。以19世纪乌克兰数学家Gyorgy Voronoi而命名的沃罗诺伊图描述了起火的地点和火势相接的边界。在Demaine和Tachi的方法中，沃罗诺伊图的边界就定义了折纸的折痕。

Demaine说道：“在我们的设置中必须稍微变形一下。我们还想象在多面体的整个多边形中同时点火，并且火势从那里出发。但这一概念很有用。挑战在于在哪里点火才能使得到的沃罗诺伊图具有我们想要的所有性质。”

完成探索

计算机折纸的先驱之一、美国数学协会成员、在2001年放弃光学工程方面的成功事业转为全职折纸爱好者的Robert Lang说道：“好厉害。这完成了我20多年前开始的追求：将一张纸有效折为任意形状的计算方法。在这个追求的途中，也出现了几种能解决一部分问题的方法：能折任何形状，但并不高效；有效折为特定类别的形状如树形形状，但并不形成曲面；能折为树形和曲面形，但并不是所有形状。但这个方法覆盖了一切！这个方法惊人的复杂，但这是由其综合性引起的。这真正涵盖了所有可能性。并且这还不仅是一个抽象的证明，而是计算上可实现的。”

本文译自 techxplore，由 CliffBao 编辑发布。