灰姑娘的水晶鞋，跑起来居然会碎

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图表1

论文作者：H. Samaratunga, L. Tonks, H. S. Ahmed and M. Sadhra

摘要：

大家都知道，灰姑娘穿了双玻璃鞋去参加舞会；然而穿玻璃鞋的实际可操作性尚有待考证。鞋跟的安全高度取决于灰姑娘穿着它纯站着、或是得行走、奔跑。如果纯站着，鞋跟不管多高都没问题；如果需要穿上它行走，那么鞋跟高度只能在3.44cm到13.8cm之间；如果穿着它撒丫子奔跑，那么鞋跟高度只能在1.15cm到4.16cm之间。由于午夜时分，灰姑娘是跑着离开王子的，那么鞋跟的安全高度应该为1.15，这可比平时相关作品里的描述矮多了。

引言

根据众多灰姑娘故事不同版本的描述，灰姑娘的神仙教母给了她一双玻璃鞋。灰姑娘穿上这双鞋去参加舞会，对的，就是那场午夜时分她逃离王子怀抱的很有名的舞会。我们姑且假设：制成这双鞋的玻璃是钠钙玻璃——这是一种常见的玻璃。考虑到这种玻璃很易碎，它承受不了塑性变形，因此玻璃鞋在承受的力达到一定程度时将会碎掉。本文主要对灰姑娘对这双鞋的各种施力情况进行分析，即站立、行走和奔跑，以及玻璃鞋在各种情况下是否有可能完好不碎，并且对各种施力情况下鞋跟的最大安全高度进行了研究。

讨论

为了确定灰姑娘穿着水晶鞋移动的能力，首先从站立开始入手，使用的是压力方程：

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其中F是向下的力，相当于她的体重；A是灰姑娘脚丫的表面面积为了计算，首先要对她的体重和脚丫子大小进行假设——假定灰姑娘体重55kg，鞋子穿英国鞋码4码(相当于中国的37码，22.5cm)。故事中，灰姑娘的脚丫比她继母的女儿们要小，根据平均鞋码为6码，假设灰姑娘穿4码应该挺合理。

当站立时，假定鞋子各部分受到的向下的力是平均的，那么每只鞋承受的就是一半的体重，另外，根据参考文献1，灰姑娘脚丫子的表面积约为0.0095㎡[文献1]，根据方程 1，如果27.5kg的重量平均分布于这个面积上，那么压力σ为28.4kPa。而钠钙玻璃的抗压强度为330MPa[文献2]，这个数值远大于鞋子所受重力，因此，灰姑娘可以放心站着，不用担心鞋子碎了。

然而，如果灰姑娘想参加舞会，那么她就得穿着这双鞋走路，并且12点时还得撒丫子狂奔。行走和奔跑时，就会出现重量全部落在一只脚上的情况，而鞋跟首当其冲。假设这些动作会造成鞋跟45度倾斜。为了简化问题，计算弯曲应力，鞋跟作为悬臂梁，将其设为方形断面为1cm×1cm的模型[文献3]。弯曲应力的方程如下：

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结合图1和方程式2，F2 = Fsin45；c为鞋跟自然轴心的垂直距离，即0.5cm；L为鞋跟高度，是个变量；J为二次转动力矩，矩形可用下面式子进行计算：

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鞋跟的底部横截面(b)及顶部横截面(h)在此处均为1cm，惯性二次阶为1.6×0.1^9m^4。利用方程2计算行走时，鞋跟高度(横坐标)及弯曲应力(纵坐标)之间的关系，绘成图表2如下：

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图表2

根据标准弯曲测试，钙钠玻璃的弯曲强度为42-165MPa[文献2]，图表2中的红色虚线表示钙钠玻璃的弯曲强度范围。因此得出，灰姑娘行走时，玻璃鞋跟高度只能在3.44cm到13.8cm之间。

奔跑时，受速度影响，鞋子受力会是灰姑娘体重的3倍[文献4]，因此鞋跟受力变大，根据上述方式，绘制出奔跑时，鞋跟高度(横坐标)及弯曲应力(纵坐标)之间的关系，绘成图表3。得出鞋跟高度只能在1.15cm到4.61cm之间。

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图表3

结论

无论玻璃鞋的鞋跟多高，灰姑娘穿着它都可以站着，鞋跟不会断；而行走和奔跑时，则不然。为了确保安全，避免鞋跟断裂，弯曲应力应考虑选用最低值；也就是说为了灰姑娘午夜逃离王子怀抱时，不至于把鞋跟跑碎，水晶鞋的鞋跟高度应该低于1.15cm。这可比童话故事中矮多了。为了计算，文中进行了许多假设，如果要进一步的证明灰姑娘那双水晶鞋鞋跟的高度，应该对更多不同种类的玻璃进行计算，并且鞋跟的倾斜角度也应该有更全面的分析，这些因素都会对鞋跟的高度造成影响

[1]http://www.p2d.co.uk/acatalog/Shoe_Size_Conversion_Chart.html /accessed on 04/10/2015
[2]http://www.makeitfrom.com/material-properties/Soda-Lime-Float-Glass /accessed on 04/10/2015
[3]http://courses.washington.edu/biomechs/lectures/lecture12.pdft /accessed on 05/10/2015
[4]http://www.barefootrunning.fas.harvard.edu/4BiomechanicsofFootStrike.html /accessed on 05/10/2015

本文译自 Journal of Physics Special Topics，由 大脑袋 编辑发布。