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数学家发现了在任意维度上像车轮一样滚动的奇异形状
数学家发现了奇异形状，这些形状在任何维度都可以像车轮一样滚动，即使它们并不是圆形。
从三个不同角度观察的恒定宽度的3D形状。中间的视图类似于一个2D三角形
数学家们发现了一种能在任意维度平滑滚动的常宽度形状，这种形状可以在两个表面之间滚动，即使是在四维、五维或更高维度。这个发现回答了困扰研究人员几十年的问题。
这些形状被称为常宽度形状，最常见的例子是在二维和三维中分别为圆形和球体。然而，这些并不是唯一的常宽度形状。一例是Reuleaux三角形，这是一种边缘弯曲的三角形；而在英国，人们常见的等边七边形即20便士和50便士硬币的形状。常宽度使它们可以在投币机中滚动并被识别，无论其朝向如何。
关键的是，所有这些形状的面积或体积都小于等宽度的圆或球体，但直到现在，是否存在比高维球体更小的常宽度物体尚未确定。1988年，数学家Oded Schramm首次提出了这个问题，询问是否存在比高维球体更小的常宽度物体。
尽管超过三维的形状无法直观地想象，数学家可以通过逻辑延伸二维和三维形状来定义它们。例如，圆或球体是一组距离中心点等距的点，在更高维度中也是如此。希伯来大学的Gil Kalai说：“有时最迷人的现象是在你观察更高维度时发现的。”
现在，加拿大曼尼托巴大学的Andrii Arman及其同事回答了Schramm的问题，并发现了一组在任意维度上都比等维度球体更小的常宽度形状。
Arman和他的同事们在每周的会议中研究这个问题多年，试图找到构造这些形状的方法，最终他们找到了解决方案。他说：“你可以说我们穷尽了这个问题，直到它屈服。”
证明的第一部分涉及考虑一个n维的球体，然后将其分成2n个等份——对于圆形是四份，对于三维球体是八份，四维球体则是十六份，依此类推。研究人员通过数学方法拉伸和压缩这些分段，以改变它们的形状而不改变宽度。“这个方法很简单，但我们在详细研究后才理解，”挪威科技大学的团队成员Andriy Bondarenko说。
团队证明，可以通过这种方式变形，得到的形状其体积最多为等维度球体的0.9n倍。这意味着，随着你进入更高维度，这种常宽度形状相对于球体的比例越来越小。
虽然很难直观地理解这一点，但一个技巧是想象高维物体的低维轮廓。在某些角度下，三维形状看起来像二维的Reuleaux三角形。同样，三维形状可以被视为四维形状的“影子”，依此类推。Arman说：“高维度中的形状在某种意义上会相似，但随着维度的增加，它们的复杂性也会增加。”
确定这些形状后，数学家们希望进一步研究它们。Kalai说：“即使有了新的结果，揭开了它们的一些神秘面纱，它们在高维中仍然是非常神秘的集合。”
本文译自 New Scientist，由 BALI 编辑发布。