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四维几何新发现：颠覆传统的“疯狂切割”
牛津大学博士后Sam Hughes和团队通过构建反例，揭示了四维流形的多样性，挑战了数学家们对四维空间的传统理解。
拓扑学家证明了两个新结果，为令人困惑的四维形状研究带来了一些秩序。
拓扑学的核心研究对象是被称为流形的空间，当你放大它们时，它们看起来是平坦的。例如，一个球体的表面就是一个二维流形。拓扑学家对这样的二维流形有很深的理解。他们还开发了工具，帮助他们理解三维流形以及具有五个或更多维度的流形。
但在四维空间，“一切都变得有点疯狂”，牛津大学的博士后研究员Sam Hughes说。工具不再起作用；出现了奇异行为。正如麻省理工学院的Tom Mrowka解释的那样，“这里有足够的空间产生有趣的现象，但又不会太多以至于它们崩溃。”
在20世纪90年代初，Mrowka和哈佛大学的Peter Kronheimer正在研究如何将二维表面嵌入到四维流形中。他们开发了新的技术来表征这些表面，使他们能够获得对四维流形的不可接近结构的关键见解。他们的发现表明，一个广泛类别的表面成员都以一种相对简单的方式切割它们的母流形，留下一个基本属性不变。但没有人能证明这总是正确的。
在2月份，Hughes与布兰迪斯大学的Daniel Ruberman一起构建了一系列反例——“疯狂”的二维表面，它们以数学家们认为不可能的方式解剖它们的母流形。这些反例表明，四维流形比几十年前数学家们意识到的要多样化得多。“这真是一篇美丽的论文，”Mrowka说。“我一直在看它。那里有很多美味的东西。”
去年年底，Ruberman帮助组织了一个会议，创建了低维拓扑领域最显著的未解决问题的新列表。在准备过程中，他查看了1997年之前的重要未解决拓扑问题列表。它包含了Kronheimer基于他与Mrowka的工作提出的一个问题。“它在那里，我认为它有点被遗忘了，”Ruberman说。现在他认为他可以回答它。
要理解这个问题，首先考虑两个关键概念很有帮助：简单连通流形和基本群。
简单连通流形是没有任何穿过它们的孔的空间。在一维中，一条无限线是简单连通的，但一个圆圈不是。在二维中，一个无限平面和球体的表面是简单连通的，但一个甜甜圈的表面不是。
数学家通过在流形上放置环路并考虑它们如何变形来严格区分这一点。如果任何环路都可以缩小到一个点，那么流形就是简单连通的。例如，在平面或球体的表面上，这是可能的——想象一下将一根绳子拉紧。但如果那根绳子绕着一个圆圈，它就不能缩小。同样，在甜甜圈的表面上，如果环路绕过或穿过中心孔，它就不能变形为一个点。甜甜圈本身会妨碍。
数学家通过计算他们的“基本群”来对不简单连通的空间进行分类，这个对象的结构反映了环路如何缩小。简单连通的流形有一个“平凡”的基本群，只有一个元素。但有孔的流形有更复杂的基本群。
即使是简单连通的四维流形也可能非常奇怪。为了理解它们，数学家思考嵌入其中的二维表面会发生什么。
通过类比，想象一下将一根线圈平放在一张纸上。你不能用它做太多事情。但是当你把它提升到三维空间时，你可以将它绑成复杂的结。你操纵绳子的方式——一个一维流形——阐明了它所嵌入的空间的性质。
同样，在更复杂的四维世界中，二维表面在“整个事情”中是“关键”，在许多不同的方面，Ruberman说。“表面比你预期的能告诉你更多关于四维流形的信息。”表面让你可以区分流形：如果一个表面可以存在于一个流形内部但不能存在于另一个流形内部，你知道这些流形是不同的。表面也可以用来从旧的流形构建新的流形。
表面也有相应的基本群。它们的补集——当你从流形中移除表面时剩下的部分——也有。例如，从球体或甜甜圈这样的二维流形中移除赤道，你会得到两个不相连的一半。但如果移除一个垂直环而不是一个水平环，甜甜圈的表面仍然保持为一个整体。同样，根据你如何从四维流形中切割出一个表面，你可以得到不同类型的补集。
回到20世纪90年代，Mrowka和Kronheimer调查了当你从四维流形中切除一个二维表面时会发生什么。如果流形本身是简单连通的，表面必须满足什么条件才能保证它们的补集也必须是简单连通的？
Kronheimer和Mrowka知道，某些类型的表面可能具有不简单连通的补集。但他们的工作似乎表明，另一个广泛的表面类别必须始终具有简单连通的补集。
近三十年来，没有人能找到一个补集不简单连通的表面的例子。但在2023年秋天，在遇到这个问题后，Ruberman认为他可以找到。他没有从四维流形开始并切除一个表面，而是从一个具有必要属性的二维表面开始，并围绕它构建了一个流形。
首先，他将表面膨胀成一个四维的块。这个四维块有一个三维边界，就像一个三维物体如球体有一个二维边界一样。Ruberman想要在边界的另一侧附加一个精心选择的四维流形，这将作为表面的补集。如果这一策略奏效，那么这个流形将有一个复杂的基本群，但所有东西的基本群加起来将是平凡的。因此，新构建的四维流形将是简单连通的。
但是要能够以正确的方式将一切粘合在一起，他必须证明新增加的基本群满足各种属性。“我不知道该怎么做，”Ruberman说。
然后在1月份，群论专家Hughes在布兰迪斯进行了一次演讲。Ruberman在观众中。他意识到Hughes可能有他一直在寻找的缺失部分。第二天两人会面，在几个小时内，他们就解决了他们需要的主要思想。Ruberman缺少的“是群论专家已经计算了70、80年的东西，”Hughes说。“我们已经为此努力了很久。”到了周末，他们完成了证明。
“我知道一些事情，他知道一些事情，我们两个人知道得足够多，可以去做，”Ruberman说。
由于证明中群论的使用方式，“这有点不寻常，”德克萨斯大学奥斯汀分校的Maggie Miller说。“它的写作方式与大多数四维拓扑学家会感到舒适的略有不同。”
这个结果再次证明了四维拓扑可以变得多么复杂。“我们认为的表面嵌入方式比我们想象的要有趣得多，”Hughes说。这使得对流形进行分类更加困难，也更难证明关于它们的其他类型的结果。
尽管如此，在3月份，与Ruberman一起组织去年列表制定会议的马萨诸塞大学阿默斯特分校的İnanç Baykur宣布了1997年列表中涉及简单连通四维流形的另一个问题的解决方案。
看来拓扑学家们正在清理房屋。
本文译自 Quanta Magazine，由 BALI 编辑发布。