法国数学家因对随机性的研究而获得阿贝尔奖

法国数学家 Talagrand 荣获阿贝尔奖，表彰其为理解随机过程做出的杰出贡献。他的研究工具现已广泛应用于各种领域，帮助人们更好地驾驭随机性。

随机过程无处不在。一天下雨，第二天不出太阳；股票和债券涨跌不定；交通堵塞时而出现时而消失。由于这些系统受到众多相互作用的复杂因素支配，我们无法准确预测其行为。取而代之，我们用概率来思考它们，将结果描述为可能或罕见。

法国概率论专家 Michel Talagrand 因其对这类过程的深刻理解而荣获阿贝尔奖，这是数学领域最高荣誉之一。该奖项由挪威国王颁发，仿照诺贝尔奖设立，奖金为 750 万挪威克朗(约合 70 万美元)。 Talagrand 得知获奖后表示，“我的脑袋一片空白”。他说：“我刚开始从事这项数学研究时，它并不热门，甚至被认为是低等数学。获奖证明了这一点并非如此。”

其他数学家也持相同观点。普林斯顿大学的 Assaf Naor 表示， Talagrand 的工作“改变了我看待世界的方式”。阿贝尔奖委员会主席赫尔格·霍尔顿 (Helge Holden) 补充道，如今“用随机过程来描述和模拟现实世界事件变得非常流行。 Talagrand 的工具箱立刻派上用场。”

Talagrand 将自己的生活视为一系列偶然事件的连锁。他在里昂上小学时成绩平平：尽管他对科学感兴趣，但他不喜欢学习。5岁时，他的视网膜脱落，导致右眼失明；15岁时，他的另一只眼睛又经历了三次视网膜脱落，迫使他在医院躺了一个月，眼睛包着绷带，担心自己失明。他的父亲是一位数学教授，每天都来看望他，用教他数学的方式让他保持思维活跃。“这就是我学习抽象力量的方式，” Talagrand 在 2019 年获得邵逸奖(另一个带有 120 万美元奖金的重大数学奖)后写道。( Talagrand 正用这笔奖金和阿贝尔奖金的一部分来设立他自己的奖项，以“表彰在我倾注心血的领域取得成就的年轻研究人员。”)

康复期间他缺席了半年的学业，但这也激发了他开始专注学习。他在数学方面表现出色，1974 年大学毕业后，他被欧洲最大的研究机构法国国家科学研究中心 (CNRS) 聘用，在那里工作到 2017 年退休。在此期间，他获得了博士学位；一见钟情爱上了一位未来的妻子，一位统计学家(他遇见她三天后就求婚了)；并逐渐对概率论产生了兴趣，发表了数百篇相关论文。

这并非预谋。 Talagrand 职业生涯的早期研究的是高维几何空间。“用了 10 年时间，我才发现自己的擅长之处，” 他说道。但他并不后悔这段弯路。它最终把他引向概率论，在那里“我拥有另一种视角……让我能够用不同的方式看待事物，” 他说道。这使他能够透过高维几何的视角来研究随机过程。

“他将他的几何直觉引入到解决纯粹的概率问题中，” Naor 说道。

随机过程是一系列事件的集合，其结果根据可建模的偶然性而变化 - 例如一系列掷硬币的结果、气体中原子轨迹或每日降雨量总数。数学家们想要理解单个结果和整体行为之间的关系。你需要掷多少次硬币才能判断它是否公平？河流会泛滥吗？

Talagrand 专注于结果服从称为高斯分布的钟形曲线的过程。这种分布在自然界中很常见，并且具有许多理想的数学性质。他想了解在这种情况下我们可以确定哪些极端结果。因此，他证明了一组不等式，对可能的结果设定了严格的上限和下限。“得到一个好的不等式是一门艺术，” 霍尔顿说道。这项艺术很有用： Talagrand 的方法可以最佳估计河流在未来 10 年可能上升到的最高水位，或最强地震的震级。

当我们处理复杂的高维数据时，找到这样的最大值可能很困难。

假设你想评估河流洪水风险 - 这将取决于降雨、风力和温度等因素。你可以将河流的高度模拟为一个随机过程。 Talagrand 花了 15 年时间开发了一种称为通用链的技术，该技术使他能够创建与这样一个随机过程相关的高维几何空间。 Naor 说，他的方法“给你一种从几何中读取最大值的方法”。

该技术具有很强的通用性，因此具有广泛的适用性。假设你想分析一个依赖数千个参数的巨大高维数据集。为了得出有意义的结论，你希望保留数据集最重要的特征，同时将其描述为只有几个参数。(例如，这是一种分析和比较不同蛋白质复杂结构的方法。) 许多最先进的方法通过应用随机操作将高维数据映射到低维空间来实现这种简化。数学家可以使用 Talagrand 的通用链方法来确定此过程引入的最大误差 - 允许他们确定某些重要特征在简化数据集中的保留可能性。

Talagrand 的工作不仅限于分析随机过程的最佳和最坏结果。他还研究了平均情况下的情况。

在许多过程中，随机的个体事件可以总计导致高度确定性的结果。如果测量值是独立的，那么总体会变得非常可预测，即使每个单独的事件都无法预测。例如，抛出一个公平的硬币。你无法提前说出会发生什么。抛掷它 10 次，你会得到四、五或六个正面 - 接近预期值五个正面 - 大约 66% 的时间。但是，抛掷硬币 1,000 次，你会在 99.7% 的时间里得到 450 到 550 个正面，这个结果更加集中在预期值 500 左右。“它围绕平均值异常尖锐，” 霍尔顿说道。

“即使某事具有很大的随机性，随机性也会相互抵消，” Naor 说道。“最初看起来像一团糟的东西实际上是有组织的。”

这种现象称为集中测量，也发生在更复杂的随机过程中。 Talagrand 提出了一组不等式，可以用来量化这种集中，并证明它在许多不同的情况下都会出现。他的技术标志着他与该领域以前工作的不同。他在 2019 年的文章中写道，证明第一个这样的不等式“是一种神奇的体验”。他“处于一种持续的欣快状态”。

他特别为他的一个后续集中不等式感到自豪。“很难得到一个结果，它试图思考宇宙，同时有一个易于解释的一页证明，” 他说道。(他回忆起他曾经使用过一家出租车服务，车主认出了他的名字，因为他曾在商学院的概率课上学习过这个不等式。“那真是太棒了，” 他说道。)

与他的通用链方法一样， Talagrand 的集中不等式出现在整个数学领域。“它能走多远真是令人惊讶，” Naor 说道。“ Talagrand 不等式是将事物联系在一起的螺丝。”

考虑一个优化问题，你必须将不同大小的物品分类到不同的箱子里 - 这是一个资源分配模型。当你有很多物品时，很难确定你需要最小的箱子数量。但 Talagrand 的不等式可以告诉你，如果物品的大小是随机的，你可能需要多少个箱子。

类似的方法已被用于证明组合数学、物理、计算机科学、统计学和其他领域中的集中现象。

最近，Talagrand 应用他对随机过程的理解来证明关于自旋玻璃的一个重要猜想，自旋玻璃是通过随机、通常是相互冲突的相互作用产生的无序磁性材料。 Talagrand 感到沮丧的是，虽然自旋玻璃在数学上定义明确，但物理学家比数学家更了解它们。“这是我们脚上的刺，” 他说道。他证明了一个结果 - 关于自旋玻璃的所谓自由能 - 为更数学化的理论奠定了基础。

Naor 说，在 Talagrand 的整个职业生涯中，他的研究都以“这种能够退后一步并找到普遍适用原则的能力” 为特征。“他不停地回顧，从各种角度思考问题。最终，他提出了一种成为工作马匹的洞察力，每个人都在使用它。”

“我喜欢非常透彻地理解简单的事情，因为我的大脑反应很慢，” Talagrand 说道。“所以我花很长时间思考它们。” 他说，他的驱动力是“以一种纯粹的方式深刻理解某事，这使得理论变得更容易。然后，下一代可以从那里开始，并根据自己的条件取得进步。”

在过去的十年里，他通过编写教科书来实现这一目标 - 不仅涉及随机过程和自旋玻璃，还涉及他完全没有涉猎的量子场论。他一直想学习它，但意识到他所能找到的所有教科书都是由物理学家为物理学家写的，而不是为数学家写的。所以他亲自写了一本。“当你不再能够发明东西时，你就可以解释它们了，” 他说道。

本文译自 Quanta Magazine，由 BALI 编辑发布。