拼图难题的终极公式

数学家提出一种计算拼图所需桌面的简便公式，只需考虑拼块数量和单个拼块面积的平方根即可。

终于，拼图桌面的终极公式诞生了！

下次你坐下来挑战拼图时，不妨带上你的计算器——你可能真会用上。

数学总给人一种枯燥的印象，似乎只适合书呆子或……嗯……FBI 探员？但事实上，数学家们风趣又酷炫，他们和其他所有人一样，享受高效的聚会和幽默的文字游戏。

而对于普通人来说，什么才是最酷的事呢？没错，就是拼图！因此，数学家将目光投向了这项消磨时光的活动，为困扰世界各地拼图爱好者的一个问题提供了答案：拼图究竟需要多大的桌子？

好吧，准确地说，这不是数学家们完成的，而是一位生物物理学家和一位实验量子物理学家。多伦多大学博士后 Madeleine Bonsma-Fisher 说：“一天我和丈夫在拼图时，我突然想到，能不能在拼好之前估算出拼图块占据的面积。”

研究成果：一篇简洁明了的论文，仅有六页长，它将最佳圆形堆积的概念应用到了你祖母最爱的雨天活动上。(值得一提的是，尽管论文目前只是预印本，尚未经过同行评审，但文中使用的几何计算非常基础，不太可能出错。)

“人们对二维圆形排列很感兴趣，这由来已久，”Bonsma-Fisher 说，“目前已知，在二维平面上将圆形排列成蜂窝状格是最紧密的方式，这样圆形之间留下的空隙最小。”

“这也是蜂窝形状的由来，”她指出，“蜜蜂实际上会制造圆形的蜂巢，但这些蜂巢会被挤压成蜂窝状格，这是将圆形紧密排列在一起的最有效方式。”

思路是这样的：桌面的面积要足以容纳拼图的所有碎片，也就是说，它应该足够容纳一定数量的圆形。这听起来可能很奇怪，毕竟拼图块通常不是圆形的——但这种方法自有道理：Bonsma-Fisher 夫妇并不追求容纳所有碎片的绝对最小面积，而是“在你不太在意碎片方向或位置时所占的面积，”她解释道。

这种方法在空间利用率上可能不太高效，但对于人类拼图爱好者来说更实用。通过将每个碎片视为圆形，而不是更接近的形状，我们可以旋转、移动或交换不同的碎片——这样才能真正地完成拼图。

那么答案是什么呢？答案基本上归结于蜂窝状的六边形排列方式。如果我们将它画出来，我们可以看到每个六边形的面积大约是圆形“拼图块”的三倍——中间有一个完整的圆，然后周围有六个三分之一的圆。

以六边形排列的圆

现在，正六边形的面积等于 3√3/2 乘以 d²，其中 d 是边长。那么 d 是多少呢？从图中我们可以看到，它是圆形之一的直径——或者用拼图块的术语来说，是对角线的长度。

假设每个碎片 (大致) 是正方形，那么 d 将是直角三角形的斜边，该三角形的两个较短的等边长度为 √(整个拼图面积 / 拼图块数量)。根据毕氏定理，这意味着 d² 等于拼图面积除以拼图块数量的两倍。

毕达哥拉斯定理指出a^2 + b^2 = c^2.或者在这种情况下是d^2。

因此，所需的总空间等于碎片数量 N 乘以单个碎片的面积。根据我们之前的推导，单个碎片的面积大约等于蜂窝状格楞中一个六边形的面积的三分之一，而这又等于 3√3/2 乘以 d²。换句话说，

最终答案：根号 3。“未拼装的拼图的面积 simply (仅仅) 等于已拼装拼图面积的 √3 倍，与碎片数量无关，”Bonsma-Fisher 夫妇在论文中写道。

为了确保准确性，这对夫妇用九个拼图验证了他们的公式，范围从 9 片到 2000 片不等。结果完美吻合：“我们在各种拼图面积和碎片数量下，发现实际测量结果与我们的理论预测非常接近，”他们写道，并展示了一幅完成的 1008 片拼图的照片。

现在我们知道了：如果你想要足够的空间容纳所有拼图碎片，请确保你的桌面面积约为拼图面积的 1.73 倍——不过，“如果你真的想要将所有碎片平铺开来，并感到舒适，”Bonsma-Fisher 说，“你的桌子应该比你的拼图面积大两倍左右。”

本文译自 IFLScience，由 BALI 编辑发布。