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为何数学家如此着迷切分蛋糕问题
概要：
切分蛋糕看似简单，但蕴含着复杂的公平分配困境，因而吸引众多数学家探讨。如何在多人之间公平分蛋糕成为一个经典数学问题，连接严谨推理和公平分配的实际需求。75年来，研究者不断寻找切分蛋糕的算法，以确保参与者都满意自己的那一份。这类算法不仅局限于生日派对，也广泛应用于食物分配等资源分配难题。随着参与者人数增加，问题变得愈发复杂。数学家们最近取得进展，找出给定人数的最少和最多切割次数。同时，不断有新变种问题出现，如不同群体共享或参与者说谎等。切分蛋糕问题联系抽象模型与现实应用，继续激发数学家寻找新的公平分配方案，以期造福世界。
蛋糕比喻任何可以分割的东西，如土地、时间或有限的资源
在过去的15年里，哈佛大学计算机科学家Ariel Procaccia思考了很多如何切分蛋糕的问题。这一方面是因为他有三个孩子，他们总共庆祝了二十几个生日。他知道站在一个覆盖着奶油和巧克力卷的叠层杰作面前拿着一把刀的感觉，同时被一群小派对者包围着，这些小孩本能地意识到别人得到的那一块更大。
但这也是因为Procaccia的许多研究工作都是关于探索数学规律来划分东西。想象蛋糕就是一种抽象的方法。75多年来，他和其他试图形式化公平的研究人员一直在问一个看似简单的问题:切分蛋糕的什么方法可以保证派对上的每个人对自己得到的部分感到满意?
答案远远超出了生日派对。切蛋糕的思考是公平资源分配这个广泛数学子领域的一部分。它激发了许多算法的产生，这些算法指导如何在饥饿的社区之间分配食物，室友之间如何分配租金或家务，如何划分公平的选区等等。作为一个数学问题，切蛋糕联系了严谨的推理和人类偏好的问题，吸引了不仅数学家，还有计算机科学家、经济学家、社会科学家和法律专家。公平(和不公平)的问题无疑是普世的。当然，甜点也是。Procaccia说，“这是一个非常优雅的模型，你真正可以在其中提纯什么是公平，并对其进行推理。”
纽约大学的博弈论学家兼政治学家Steven Brams说，蛋糕是一个可以分割的善意的隐喻，如土地、时间或有限资源。当把切蛋糕的见解应用于解决国际纠纷时，他说，“我们可能正在帮助世界找到解决方案。”
专家已经多次以多种形式想出了切蛋糕算法，这些算法是描述如何公平切蛋糕的数学规则。最简单的规则揭示了如何在两个人之间公平地分享一个蛋糕:一个人将蛋糕切成两个他认为价值相等的片，另一个人先选。每位食客都会得到一个他认为至少和别人一样有价值，如果不是更好的片。这种公平划分策略的记载可以追溯到古希腊。
20世纪40年代，数学家开始认真地对公平采取数学方法，并以切蛋糕作为切入点。他们开始探索如何在三个人之间进行公平分享，因为“我切，你选”是两人游戏。这导致寻找将这些算法扩展到任意大数量的人的方法，并提出更细微的问题，如什么确切地是公平，以及如何证明它?
瑞士洛桑大学的博弈论学家贝蒂娜·克劳斯研究学校选择分配和平等获得住房等现实世界情况中的公平。她说，切蛋糕很容易进行形式化和理解。“但与此同时，随着需要分享蛋糕的人数增加，这个问题在数学上具有趣味性和挑战性，因为它的复杂性。”
最近几年在确定给定人数所需的最少切割次数以及最大切割次数方面取得了进展，后者可以变得荒谬地高，但至少表明切蛋糕是有限的。新的变种问题也不断出现。如果你是为多个群体而不是个人划分蛋糕呢?或者，正如去年发表的一篇论文所探讨的，如果吃蛋糕的人在偏好上说谎怎么办?又如果你正在分配无法分割的离散物品，如未打开的万圣节糖果，那又怎么办?通过专注于精确的定义和新场景，数学家已经找到了新的应用，并将切蛋糕保持在公平研究的前沿。
布拉姆斯在过去的40多年中发表了数百篇关于切蛋糕或更广泛的公平性的作品，他说:“你可以说，公平或者不公平是当今世界最重要的问题之一。我们正在研究公平的理论基础。”
切蛋糕的公平算法
记录下来找出公平分割东西的方法可以追溯到至少2700年前赫西俄德的史诗《神谱》。其中一个故事讲述了神和凡人在神话中的希腊城市Mecone发生冲突。为了祭祀神灵，既是神也是人类最大恩人的普罗米修斯将最近宰杀的一头牛分成两堆，一堆是不吸引人的裸骨头，外面覆盖一层脂肪，另一堆是可取的肉隐藏在一部分不吸引人的胃下。普罗米修斯请宙斯选择。宙斯受脂肪的闪亮吸引，选择了不吸引人的骨头。
切蛋糕问题吸引了各类数学家，他们试图通过创造算法来描述如何公平分享资源。这不仅局限于生日派对，也广泛应用于分配食物、房租等更大范围的资源分配问题。通过思考看似简单的切蛋糕问题，研究人员探讨什么是公平，并继续寻找新的应用，以期为世界带来更多公平。
本文译自 science news，由 BALI 编辑发布。