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神奇的“毛球定理”：可以证明地球上至少有一个地方没有风
数学中最“毛茸茸”的问题可以教我们关于风、天线和核聚变的知识。
你可能会惊讶地发现，你不能在椰子上把头发梳平，不形成乱蓬蓬的发型。更令人惊讶的是，这个愚蠢的说法及其更愚蠢的名字“毛球定理”，是拓扑学这一数学分支自豪的发现。这个定理在气象学、无线电传输和核能方面影响深远。
这里，“乱蓬蓬的发型”可以指秃点，也可以指直立的一簇头发。当然，数学家在陈述这个问题时不会提到椰子或乱蓬蓬的发型。用更专业的语言，可以把椰子看成球体，把头发看成向量。向量通常描绘为箭头，仅仅表示有大小(长度)和方向。把头发梳平贴在椰子侧面，会形成等价的切向量——那些只在长度上接触球体的向量。而且，我们想要一个平滑的梳子，不允许头发在任何地方分开。换句话说，球面上的向量排列必须是连续的，意味着相邻的头发只能缓慢改变方向，不能急剧改变。如果我们把这些标准缝合在一起，定理说任何在球面每个点赋予向量的方法，都会出现丑陋的事情：会有不连续(分开)、向量长度为零(秃点)或向量不能切线于球面(阿尔法尔法式)。用术语来说：球面上不存在连续非零切向量场。
这个结论延伸到各种毛茸茸的图形。在拓扑学领域，数学家研究形状，就像在几何学中那样，但他们想象这些形状是由永远弹性的橡胶制成的。尽管橡胶能塑造成其他形式，但它不能撕裂、融合或穿过自身。如果一个形状可以平滑变形成另一个形状，而不做这些事情，那么从拓扑学家的观点来看，这两个形状是等价的。这意味着毛球定理自动适用于毛茸茸的立方体、毛茸茸的玩具动物和毛茸茸的棒球棒，因为它们在拓扑上都等价于球体。(你可以从一团橡皮泥塑造它们而不违反橡皮规则。)
你的头皮跟球体不等价。头皮本身可以拉平成表面，像地毯的纤维一样梳成一个方向。所以，遗憾的是，数学不能解释你的早晨蓬头垢面。甜甜圈也与球体不同，所以一个毛茸茸的甜甜圈，可以被顺滑梳理。
毛球定理的一个有趣后果是:地球上总会有至少一个点没有风横过表面吹拂。风连续环绕着地球循环，它在地表每个位置的方向和大小可以用切线于地球的向量来建模。(向量大小不需要代表实际长度，例如头发的长度。)这符合定理的前提，意味着风势必须在某处死亡(形成乱蓬蓬)。乱蓬蓬可能发生在旋涡或涡流的眼里，或者可能因为风直接向天空吹拂而发生。这个很好的在线工具描绘地球实时的风向，你可以清楚看到涡流的乱蓬蓬。
要观察定理的另一个奇怪推论，以任何方式旋转篮球。球面上总会有一个点速度为零。同样，我们根据每个点的方向和速度将切线向量与每个点相关联。旋转是一个连续运动，所以毛球定理适用，并保证一个点完全没有速度。进一步思考，这似乎是显而易见的。旋转的球体围绕一个看不见的轴转动，那个轴两端的点不动。如果我们准确地沿着那个轴在球内钻一个小孔以去除静止点，看似然后每个点都在移动。这是否违反毛球定理?不，因为钻孔把球变成了甜甜圈!即使是孔长得异常细长的甜甜圈也违反定理规则，避免了自相矛盾。
离开玩具场景，毛球定理实际上对无线电工程师施加可感知的局限。天线根据设计选择向不同方向广播无线电波。一些目标信号指向特定方向，而其他的信号传播更广泛。有人可能倾向简化问题，只建造同时向各个方向发出相等强度信号的天线，称为各向同性天线。只有一个问题:某件毛茸茸的拓扑学事实规定各向同性天线不能存在。想象一个由中央源发出的球形波。足够远离源头，无线电波展现出垂直传播方向的电场，意味着该场切线于波的球面。毛球定理坚持这场势在某处必然下降到零，意味着天线信号的干扰。各向同性天线仅作为理论理想存在，我们用它来比较实际天线性能。有趣的是，声音传播不同种类的波，没有无线电波的垂直特性，所以向各个方向发出相等强度声音的扬声器是可能的。
也许毛球定理最酷的应用涉及核聚变发电。聚变发电蕴含巨大希望，也许有朝一日能帮助缓解能源危机。它具有产生大量能源的潜力，不像化石燃料会造成环境问题，也远少于传统核裂变反应堆的放射性风险。简而言之，聚变反应堆首先获得氢等燃料，使它承受强热和压力，将其分解成组成部分形成等离子体。等离子体是电子和其他带电粒子组成的云团，它们碰撞并偶尔融合形成新粒子，同时释放能量。
建造聚变反应堆有一个基本工程难题:如何容纳温度比太阳核心高10倍的等离子体?任何材料在那样高温下都会分解成等离子体。所以，科学家设计了一个聪明的解决方案:利用等离子体的磁性质在强磁场内对其进行约束。最自然的容器设计(想想箱子或罐子)在拓扑上都等价于球体。这些结构周围的磁场会形成连续的切向量场，这时我们知道这样的毛茸茸结构会发生什么。磁场中的零意味着容器泄漏，这对整个反应堆来说是灾难性的。这就是为什么领先的聚变反应堆设计托卡马克采用甜甜圈形腔室。国际热核聚变实验反应堆(ITER)大项目计划在2025年前后在法国完成新的托卡马克建设，参与者声称他们的磁约束系统将是“有史以来建造的最大最综合的超导磁系统”。这就是拓扑学在我们的清洁能源未来中发挥的作用。
本文译自 Live Science，由 BALI 编辑发布。