酷研究：计算任意一位π的公式

你最喜欢的数字是什么？选项无穷无尽，但只有少数几个数字似乎比其他数字更受欢迎：显然有7；对于我们中间的叛逆者可能是13或666；而对于那些只是想恶心毕达哥拉斯学派的人来说是√2。

但真正能称王者的数字只有一个：π。还有什么其他数学常数可以直接用作计算能力的基准，或者成为一个永无止境的全球对决，争夺谁能以正确顺序列出最多随机数字的基础(目前记录是11.17万)?

π之所以能够像这样激发我们的想象力，是因为它是一个无理数，也就是说它的十进制展开是无限的、完全随机的。人们认为，你能想到的任何数序列都可以在π的展开中找到，但知道展开中的任何特定序列都不能告诉你接下来一位是什么。

所以下面这个发现听起来几乎令人难以置信：大约一年前，已经有方法找到你感兴趣的任何一位π。

当然，有个约束：它依赖于欧拉数和伯努利数的估计值——这两个数列计算起来相当费时费力，增长迅速，你很难把它们装进计算器，更别说成功操作来找到π的第14位了。

但这并不是这个结果的重点：“这个公式不仅是正确的，而且优雅简洁，”1月在arXiv预印本服务器悄悄上传此公式的数学家Simon Plouffe说。“尤其是对于2进制，这是一个很漂亮的公式。所以，我认为我们可以说这个公式相当酷。”

事实上，2进制的π是Plouffe的专长：他是BBP算法的P，这是一种计算π二进制展开值第n位的方法，他早在1995年就发现了它。现在，他说他的结果可以推广到任意进制:“通过调整10进制或2进制，对任何n都有效，”他指出。“如果我们想，可以用任何进制，我可以很简单地调整公式。”

与1995年的结果一样，这个新公式也基于“几个世纪以来人们已经知道的”结果，他告诉IFLScience，但现代数学家很少重新审视这些结果。这就是这篇新论文最引人注目的地方，它太短了：全文只有6页，参考部分不算在内。这里没有长篇计算或抽象证明；相反，Plouffe的结果依赖于以全新视角审视旧东西的能力。

他说:“之所以可能，是因为这些伯努利数非常接近π及π的幂。将它们联系在一起的公式......我认为一定要追溯到欧拉。”

“它们联系得那么紧密，以至于如果我们隔离π或π的n次方，我们就有一个包含第n个伯努利数的公式，而且它非常精确，如果我们在第n位截断，就可以获得足够的精度来断定它是第n位小数。”

像揭开这个最难以捉摸的数学常数的许多结果一样，这个发现不太可能有什么实际应用；毕竟即使是NASA对星际导航等任务最高精度的计算，也只需要扩展到约16位有效数字。也很难想象一个场景，你可能需要知道π的第143位，但对这个数别的一无所知。

但对π迷和数学家来说，重要不是这个结果能怎么用，而是它提醒我们:如果用全新视角看问题，令人惊讶的数学发现随处可找到。

对于这个结果之前如此长时间未被注意到，“我承认我也不知道原因”，Plouffe说，“但要看到或发现这样一个性质，你必须用一种只看这个的眼光。”

他补充说:“一个公式中包含的信息......包括无限信息。足够思考它的人很有可能发现新的东西。”

本文译自 IFLScience，由 BALI 编辑发布。