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动力系统领域最近贡献了“美丽的证明”：太阳系的不稳定性
自艾萨克·牛顿 (Isaac Newton) 以降，几个时代最伟大的数学家和天文学家就一直想证明，我们的太阳系在牛顿力学下是稳定的。比如在只考虑太阳施加的引力的最简单的太阳系模型中，行星像发条一样永远遵循它们的椭圆轨道。
那是一串熠熠生辉的名字：欧拉、拉格朗日、拉普拉斯……到亨利·庞加莱，再到阿诺德；以及现在的学者，我们仍然未能彻底解答这一问题——虽然取得了极其丰硕的成果。
庞加莱一度认为自己解决了这个难题，证明了太阳系的稳定性。随后，他意识到自己的错误。经过重新思考，他发展了后来被称为代数拓扑学的思想，开启了借助拓扑和几何学工具定性分析偏微分方程(动力系统dynamical system)之先河。最早指出了三体问题带来的理论困境，并且提出了后来著名的关于代数拓扑学的庞加莱猜想。
因为同名小说是国内现象级的作品，所以关于三体的问题不再赘述。只要知道，它和之后发现的混沌现象相关。关键词是：吸引子、周期性或非周期性、初值敏感性(蝴蝶效应)、稳定性和非稳定性等。
到1957年，Vladimir Arnold在19岁时就解决了希尔伯特第十三问题。一代大师初次展露头角便一鸣惊人。
1964年，Arnold提出了一个著名的例子，描述了一个由一个钟摆和一个转子组成的机械系统。
(我一直好奇有没有人制造了这个东西的机械实物原型，反正bingAI没有找到。)
Arnold证明了这个系统具有一个全局吸引子，即一个稳定的周期轨道，但是这个周期轨道的形状和周期都依赖于初始条件。这个例子表明了动力系统中可能存在的不稳定性和复杂性，即即使系统的方程很简单，也可能产生非常复杂的行为。
他随后推测大多数动力系统都应该表现出这种不稳定性。就太阳系而言，这可能意味着某些行星的轨道形状或偏心率可能会在数十亿年内发生变化。
但是，尽管数学家和物理学家最终在证明普遍存在不稳定性方面取得了很大进展，但太阳系的问题竟然始终未能解决。 这是因为太阳的引力作用非常强大，以至于即使考虑到行星之间施加的引力，发条行星模型的许多特征仍然存在。 (在这种情况下，牛顿力学对现实给出了很好的近似，以至于这些模型不需要考虑广义相对论的影响。)这种内在的稳定性使得不稳定性难以检测。
2009年，巴黎天文台的两位天文学家宣布了一项惊人的发现。 在建立了我们太阳系的详细的数值模型后，他们做了数千次模拟，将行星运动预测到未来数十亿年。 在大多数模拟中——水星的初始位置在不到 1 米的范围内浮动——一切都按预期进行。 行星继续围绕太阳旋转，描绘出椭圆形的轨道，这些轨道看起来或多或少与人类历史上的轨道相同。
但大约有 1% 的时间，事情发生了变化——毫不夸张地说，水星轨道的形状发生了显著变化。它的椭圆轨迹逐渐变平，直到行星坠入太阳或与金星相撞。有时，当它在太空中开辟新路径时，它的行为也会破坏其他行星的稳定：例如，火星可能会被逐出太阳系，或者可能会撞向地球。金星和地球可以在缓慢的宇宙舞蹈中多次交换轨道，然后最终相撞。
虽然通过上面的信息，可以说有非常强的证据，暗示太阳系是不稳定的，但在数学领域，模拟实验是无法取代证明的。
现在，有三位数学家在总计超过 150 页的三篇论文中首次严格证明，围绕太阳运行的一般的行星模型不可避免地会出现不稳定性。
“结果真的非常壮观，”意大利帕多瓦大学的数学物理学家 Gabriella Pinzari 说。 “作者证明了一个定理，这是人们可以证明的最美丽的定理之一。 它还可以帮助解释为什么我们的太阳系看起来像现在这样。“
新论文解决了真正的 N体问题——表明在一个行星系统中会出现不稳定性，其中三个小天体围绕一个大得多的太阳旋转。 尽管轨道的大小和形状可能会长时间围绕固定值振荡，但它们最终会发生巨大变化。
这是预料之中的——人们普遍认为在这种模型中稳定性和不稳定性并存——但数学家是第一个证明这一点的人。
巴塞罗那大学的数学家Marcel Guardia与巴黎多芬大学的 Jacques Fejoz 一起，于 2016 年首次尝试证明三体问题(一个太阳，两个行星)的不稳定性。虽然他们能够证明混沌动力学以庞加莱指出的形式出现，但他们无法证明这种混乱的行为对应于大而长期的变化。
2020 年 9 月，在 Guàrdia 手下学习的博士后Andrew Clarke 加入了他们，三人决定重启项目，这次再为系统增加一颗行星。
在他们的模型中，三颗行星围绕太阳旋转，彼此之间的距离越来越大。 至关重要的是，最内层的行星开始以相对于第二和第三行星的显著倾斜轨道运行，因此它的路径实际上与它们的路径形成直角。
行星离太阳的距离越大，完成轨道运行所需的时间就越长。 在这种情况下，第三颗行星距离太远，两颗内行星的进动速度更快。 不再可能对最后一颗行星的运动进行平均——拉格朗日和拉普拉斯在他们对太阳系稳定性的描述中没有考虑到这种情况。 “这将彻底改变方程式的结构。”同样在巴黎天文台工作的数学家 Alain Chenciner 说。 现在有更多变数需要担心。
Clarke、Fejoz 和 Guàrdia 证明了轨道可以增长到任意大。 “他们最终增加了轨道的大小，而不仅仅是形状或类似的东西。”Moeckel 说。“这是最终的不稳定性。”
这些结果可能解释了为什么我们太阳系中的行星的轨道几乎都位于同一平面上。它表明，像大倾角这样简单的事情在多个方面都可能成为大量不稳定的来源。 Chenciner 说：“如果从面角很大的情况开始，那么你会‘很快’地摧毁这个系统。它会在数百、数千个世纪前毁灭。”
他们的证明需要巧妙结合几何、分析和动力学的技术——并回归基本定义。
数学家将行星系统的每个配置(行星的位置和速度)表示为高维空间中的一个点。他们的目标是通过空间显示“高速公路”的存在，这些高速公路对应于第二颗行星的偏心率或第三颗行星的半长轴的巨大变化。
为此，他们首先必须用坐标表示每个点，这些坐标非常深奥和复杂，几乎没有人听说过它们，更不用说尝试使用它们了。 (这些坐标是在 1980 年代初由比利时天文学家 André Deprit 发现的，但被Pinzari遗忘，后来在2009年她写博士论文时独立发现了这些坐标。从那以后它们几乎没有被人使用过。)
通过使用 Deprit 坐标来描述行星配置的高维空间，数学家对其结构有了更深入的了解。 “这就是证明之美的一部分：设法处理这个 18 维几何。”Fejoz 说。
Fejoz、Clarke 和 Guàrdia 发现了穿越该空间几个特殊区域的高速公路。 然后，他们利用新发现的几何理解方式来证明高速公路对应于行星轨道大小和形状的不稳定动力学。
https://www.quantamagazine.org/new-math-shows-when-solar-systems-become-unstable-20230516/