@ 2022.07.15 , 17:08

今年才给出广义相对论里角动量概念的恰当数学定义

在阿尔伯特·爱因斯坦提出广义相对论一个多世纪后,他史诗般的引力理论已经通过了它所经历的每一项实验审核。广义相对论改变了我们对引力的理解,它不再像长期以来所认为的那样,将引力描述为大质量物体之间的吸引力,而是指出引力的本质:质量和能量导致时空弯曲的结果。

该理论取得了惊人的胜利——从1919年证实光线在太阳引力场中弯曲 到 2015年LIGO探测到引力波 再到 2019年揭示了黑洞的轮廓。

因此,现在听说广义相对论里的质量和角动量的概念竟然缺少数学定义,或许你会大吃一惊。

尽管爱因斯坦在1915年引入的方程涉及由大质量物体引起的时空曲率,但该理论并没有提供一种简单或标准的方法来确定物体的质量是多少。角动量——衡量物体在时空中的旋转运动——是一个更难定义的概念。

部分困难源于建立在广义相对论中的正反馈效应。物质和能量使时空连续体弯曲,但时空曲率本身就成为能量源,又会导致额外的曲率——这种现象有时被称为“引力的引力”。并且没有办法将物体的固有质量与来自这种非线性效应的额外能量分开。此外,如果不首先牢牢把握质量,就无法定义动量或角动量。

爱因斯坦意识到这一问题,但从未完全阐明质量是什么或如何测量它。直到1950年代末和1960年代初,才提出第一个严格的定义。物理学家Richard Arnowitt, Stanley Deser, 和Charles Misner定义了一个孤立物体的质量(如黑洞):从几乎无限远的地方观察,时空几乎是平坦的,物体的引力影响接近于零。

尽管这种计算质量的方法(称为“ADM 质量”)已被证明是有用的,但它不允许物理学家量化有限区域内的质量。假设他们正在研究两个正在合并的黑洞,他们想确定合并前每个黑洞的质量,而不是整个系统的质量。但ADM质量无法满足这一需求。包围在任何单个区域内的质量——从该区域的表面测量,重力和时空曲率可能非常强——被称为“准局域质量”。

2008年,哥伦比亚大学的数学家Mu-Tao Wang和现居于清华大学的丘成桐提出了准局域质量的定义,该定义被证明是卓有成效的。2015 年,它使他们和其他合作者能够定义准局部角动量。今年春天,这些作者和第四位合作者首次发表了长期寻求的角动量定义,即“超平移不变性”,这意味着它不依赖于观察者的位置或我们选择的坐标系。有了这样的定义,观察者原则上可以测量旋转物体在时空中产生的涟漪,并计算这些涟漪从物体上带走的角动量的确切数量,这些涟漪就是所谓的引力波。

“这是一个了不起的结果。”密歇根大学的数学家和广义相对论专家 Lydia Bieri谈到2022年3月的论文时说,“并且是几年来复杂数学研究的高潮。”事实上,广义相对论在数学上的进展不是花费了数年,而是数十年。

在1960年代,斯蒂芬·霍金提出了准局域质量的定义,由于其简单性,在某些情况下今天仍然受到青睐。为了计算黑洞事件视界(其不可见的球面边界)所包围的质量,霍金表明,我们可以通过确定入射和出射光线被包含在其中的物质和能量弯曲的程度来计算任何球体内部的质量。虽然“霍金质量”具有相对容易计算的优点,但该定义仅适用于球对称的时空(理想化条件,因为现实世界中没有任何东西是完美的圆形)或“静态” (而且相当无聊)时空,没有任何变化。

1979 年,在普林斯顿大学的一次演讲中,后来的诺贝尔奖获得者、数学物理学家罗杰·彭罗斯,黑洞物理学的另一位先驱,为数学物理学家定下了描述准局域质量的任务:“一个人不需要‘一直到无穷大’才能有意义地定义这个概念”,是广义相对论中排名第一的难题。准局域角动量的定义在彭罗斯的列表中排名第二。

那年早些时候,丘和他以前的学生、现在是斯坦福大学名誉教授的Richard Schoen证明了建立这些准局域定义的主要先决条件。也就是说,他们证明了一个孤立物理系统的ADM质量——它的质量是从无限远的地方测量的——永远不会是负数。Schoen-Yau“正质量定理”构成了定义准局域质量和其他物理量必不可少的基础,因为如果时空和其中的一切能量没有下界,那么它就会变得不稳定——会变成负数并无限下降。 (1982 年,丘获得了数学界的最高荣誉菲尔兹奖,部分原因是他在正质量定理方面的工作。)

1989 年,澳大利亚数学家Robert Bartnik根据正质量定理提出了准局域质量的新定义。Bartnik 的想法是取一个由表面包围的有限区域,然后通过用越来越大面积的多层表面包围它,将有限区域扩展到无限尺寸,以便可以计算其ADM质量。但是该区域可以通过多种方式扩展,就像气球的表面积可以均匀地膨胀或向各个方向拉伸一样,每个方向都会产生不同的ADM质量。根据Bartnik 的说法,在所有膨胀方式里,可以获得的ADM质量的最小值,就是准局域质量
正质量定理的意义是确定了这个下确界的存在。

康涅狄格大学数学家Lan-Hsuan Huang说, Bartnik质量一直是数学中的重要概念,但它在物理上的主要缺点是实用性不足:找到最小值非常难。“几乎不可能。”

物理学家David Brown和James York 在 1990 年代提出了完全不同的策略。他们将一个物理系统包裹在一个二维表面中,然后尝试根据其曲率确定该表面内的质量。然而,Brown-York 方法的一个问题是它可能在完全平坦的时空中给出错误的答案:准局域质量可能会变成正值,即使它应该为零。

尽管如此,王和丘在 2008 年的论文中还是使用了这种方法。基于Brown-York的工作,以及丘成桐与哥伦比亚的数学家Melissa Liu进行的研究,王和丘找到了绕过完全平坦空间中正质量问题的方法。他们在两种不同的环境中测量了表面的曲率:“自然”环境,一个代表我们宇宙的时空(曲率可能相当复杂),以及一个被称为闵可夫斯基空间的“参考”时空,后者是完全平坦的,因为它没有任何物质。他们推测,两种曲率的任何差异都必须根源于限制在表面内的质量——换句话说,就是准局域质量造成的。

他们的定义满足了“有效定义准局部质量所必需的所有要求”。也就是说,他们的方法存在一个限制其适用性的特征。“尽管我们的定义非常精确,”王说,“但它总是涉及求解几个非常困难的非线性方程。”这种方法在理论上很好,但在实践中往往很累人。

2015 年,王和丘与加州大学河滨分校的 Po-Ning Chen 合作,着手定义准局域角动量。在经典力学中,做圆周运动的物体的角动量简单地由半径 r×动量 给出,其方向符合右手螺旋定则,垂直与圆周平面。因为它是守恒的,物理学家可以跟踪物体和环境之间的角动量如何交换,从而深入了解系统的动力学。

为了定义一个表面内的准局域角动量,Wang、Yau 和 Chen 需要两件工具:他们拥有的准局域质量的定义,以及关于时空旋转如何工作的详细知识。和以前一样,他们首先将表面嵌入到最简单的环境中,即闵可夫斯基时空——选择它是因为它非常平坦,因此具有旋转对称性,每个方向看起来都一样。旋转对称性使研究人员能够以一种不依赖于具体坐标系的方式来定义准局部角动量。接下来,他们在 闵可夫斯基时空表面上的点与放置在其自然时空中的同一表面上的点之间建立了一对一的对应关系,从而确保了后者的坐标独立性。

三人随后与台湾成功大学的Ye-Kai Wang 联手解决了大约60年仍未解决的问题:如何表征被引力波扫过的角动量,例如两个黑洞一起螺旋发射角动量并猛烈地合并。他们对准局域角动量的定义不适用于这项任务,因为测量必须在远离漩涡的地方进行,而非在靠近黑洞合并的地方进行。适当的有利位置被称为“零无穷点”,这是彭罗斯发明的一个概念,指的是向外传播的辐射(包括引力和电磁辐射)的最终目的地,。

正如广义相对论中经常发生的那样,出现了一种新的复杂情况:引力波传输的角动量,即使在零无穷处(或足够远)测量,似乎也会根据来源和方向的选择而改变观察者的坐标系。困难源于“引力波记忆效应”——当引力波穿越时空时,它们会留下永久的印记。波会在一个方向上拉伸时空并在正交方向上压缩空间(这就是由 LIGO 和 Virgo 等引力波天文台探测到的信号),但时空永远不会完全恢复到其初始状态。 “通过的引力波改变了物体之间的距离,”康奈尔大学的广义相对论者 Eanna Flanagan 解释道,“波浪也可以稍微移动观察者……但他们不会知道自己被移动了。”

这意味着即使不同的观察者最初就其坐标系的原点所在的位置达成一致,但在引力波传导后,他们也无法再达成一致。这种不确定性反过来会导致在各自对角动量的计算中出现歧义,这被称为“超平移”。理解超平移的另一种方法是,虽然物体的质量和速度都不会被经过的引力波扭曲,但它的旋转运动半径会。根据半径相对于坐标系的方向,它可能似乎被引力辐射拉伸或收缩,从而导致角动量的不同。

守恒的物理量不应随我们选择标记事物的方式而改变,或看起来会改变。这就是四位合作者希望修正的局面。从 2015 年对准局域角动量的定义开始,他们计算了有限半径区域内包含的角动量。然后他们将这个量的极限视作半径趋于无穷大的情况,这将与坐标无关的拟定域定义变成了零无穷处的超平移不变量。凭借首发在《理论与数学物理学进展》上的角动量超平移不变定义,原则上可以确定黑洞碰撞期间辐射的引力波所带走的角动量。

“这是一篇精彩的论文,也是一个了不起的结果。”纽约石溪大学的数学家 Marcus Khuri说,“但问题是,它有多大用处?”

这个定义对物理学家来说太抽象,太难以计算,“一般来说,物理学家不喜欢难以计算的东西。”

然而,难以计算是广义相对论几乎不可避免的特征。通常甚至不可能精确求解爱因斯坦在1915年提出的基本方程,除非在高度对称的情况下。相反,研究人员依靠超级计算机来获得近似解。他们通过将时空分解为小网格并分别估算每个网格的曲率,从而使问题易于处理。随着添加更多网格,它们的近似值会变得更好——类似于向高清电视添加更多像素。

这些近似值使研究人员能够根据 LIGO 和 Virgo 天文台探测到的引力波信号计算合并黑洞或中子星的质量和角动量。根据德国波茨坦马克斯普朗克引力物理研究所的物理学家、LIGO 合作的成员 Vijay Varma 的说法,目前对引力波的观测还不够准确,以至于超平移引起的细微差异无法被注意到。 “但是当我们观察的准确性提高 10 倍时,这些精妙的数学定义将变得更加重要。”

康奈尔大学的Eanna Flanagan有不同的观点,认为超平移“不是一个需要解决的问题”,而是我们需要忍受的广义相对论中角动量的必然属性。

芝加哥大学广义相对论专家、物理学家Robert Wald在某种程度上赞同Flanagan的观点,称超平移与其说是一个实际问题,不如说是一个“不便”。尽管如此,他还是仔细审查了 Chen、Wang、Wang 和 Yau 的论文,并认为证明是站得住脚的。 “它确实解决了超平移的歧义,”并补充道,“在广义相对论中,当你有所有这些替代定义可供选择时,”很高兴还有一个“独特的选择”可供选择。

自1970年代以来一直致力于定义这些物理量的丘成桐有着高远的目光。 “数学思想渗透到物理学中可能需要很长时间。”他说。他指出,即使角动量的新定义暂时未被使用,LIGO 和 Virgo 的科学家“总是在进行近似计算。但最终,物理学家也会高兴地知道他们正在近似计算的是什么东西。”

https://www.quantamagazine.org/mass-and-angular-momentum-left-ambiguous-by-einstein-get-defined-20220713/


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