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阈值猜想 这6页论文是今年第一季度数学领域里最重要的成果
考虑若干个数学意义上的点，我们给每个点标号。就像是中学时代为三角形的顶点编号ABC一样，只不过这里为了叙述方便，我们使用数字123456……
现在，我们挑出两个点，如1和点2，然后投掷一枚硬币：如果投出了字，则在点1和点2之间连上一条线；否则，就不动它们。然后，我们再对点1和点3，点2和点3，点1和点4,……重复上面的过程。
亦即，每两个点，它们之间有50%的几率存在一条连线。这些点和线构成的图，就是一个随机图。这里生成线的几率是50%，但显然，我们也可以50%换成任意的几率p。
随机图既是图论里的理论研究对象，也是和大数据、复杂系统相关的应用数学领域。
比如说，把一个城市里的居民看做是一个个的点。当城市居民足够多的时候，不妨合理假设每两个居民相遇的几率都是固定的，此时如果某个居民携带某种空气媒介传播的病毒，则所有和他密接的人员，就相当于从他(代表他的点)和其他人之间生成一条连线。这就构成了某种传染病溯源的随机图。
实际上，我们可以通过计算知道，当生成概率p足够大的时候，图就会很大概率出现某些结构。如成为树、欧拉图、汉密尔顿图。但针对每个结构，p其实并不好算。
2006年，数学家Jeff Kahn 和 Gil Kalai 提出了一个猜想，他们发现可以用相对简单的方法估算以一定几率呈现特定结构时的p值。这就是Kahn-Kalai猜想，它解释了随机系统中的某种内在规律，是随机图理论中的核心问题之一。
比如说，对于N个点图，可以借助复杂计算得知，若生成概率小于log(N)/N，则图里不大可能出现汉密尔顿圈。但如果应用Kahn-Kalai猜想，则我们可以直接知道，那个阈值概率必定介于1/N和log(N)/N之间——虽然有失准确，但计算简单。
普遍性使该猜想显得如此令人难以置信。一方面，它会立即简化组合学方面的研究。另一方面，大量看似无关的问题，都可以借助这一猜想来回答。
当然，意料之中的，猜想很难。过去15年里，没有人想到它能够被证明，而且证明过程还很“简单”。
今年3月最后一天上传至arxiv的6页论文A Proof of the Kahn-Kalai Conjecture 是2022年第一季度最重要的数学成果。
之前没人想到随机图领域里的中心问题之一的 Kahn-Kalai Conjecture 能够被证明，而且能够有如此简单的证明(巧妙应用了覆盖理论，工具基本都是现成的。有点像当年布朗基用现成的工具证明了比伯巴赫猜想。唯一区别在于，证明比伯巴赫猜想是单叶几何函数论这一数学分支存在的意义，所以完成证明基本相当于单叶几何函数论的告别演出。而Kahn-Kalai Conjecture，也叫随机图阈值猜想，更像是拉开复杂系统里随机结构研究的大幕。)
特别是在组合和图论领域里，一套行之有效的理论工具，往往不在于理论多么高深，而是要找对切入点，就像是钥匙对应锁孔一样。而一旦开了锁，那后续的一批成果就手到擒来了。目测起码有两位数的艰难结果随着这一证明瓜熟蒂落。
看采访，两位作者一开始自己都没有抱期望，本来就是想零敲碎打写一篇多少有进展的论文，结果赶论文一个不眠之夜竟然直接通关。两位作者一位还是在读博士，另一位也不过是斯坦福的助教，但有不小概率预定8年后的菲尔兹奖了。看照片都是亚洲人，一位看名字Huy Tuan Pham，是越南裔。另一位Jinyoung Park不知道是不是华人或韩国二代移民。