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推开虚掩的门：牛津大学数学家刚刚解决了Erdős-Graham的单位分数问题
你能找到若干自然数，让它们的倒数和=1吗？
没有限制的话，枚举其实还是很简单的，如1/2+1/3+1/6=1。这种叫单位分数，古埃及人很关注这些玩意，因为这涉及货币种类，如用若干小货币单位凑出大单位。(根源上还是古埃及人的分数运算方式和对进位的理解，迫使他们去记忆有哪些单位分数)
现代数学家则对有特定限制的结构更感兴趣。
牛津大学的Thomas Bloom刚刚证明了单位分数的重大猜想。
1970 年代，大数学家Paul Erdős 和 Ronald Graham设想，如果从前一亿个自然数里，随机或精心(怎样都可以)挑出一个数字记为A1；从之后一亿个自然数里类似地挑出A2；最终，得到一个自然数的数列子集{An}。从朴素的角度看，{An}在全体自然数里的密度是一亿分之一((称之为具有“正密度”))。Erdős 和 Graham猜测，{An}里必然存在若干项，它们的倒数和=1。
显而易见，这里的“一亿”仅是为了论述方便，实际上它可以是任意的整数N。
上面就是Erdős-Graham问题。不出意料，它非常之难。
蒙特利尔大学的Andrew Granville说：“我认为这是一个不可能解决的问题，头脑正常的人不可能做到。我没有看到任何明显的工具可以用于解决它。”
Bloom 进入这一领域的契机，源于读博期间的家庭作业：去年 9 月，他被要求在讨论会上解读一篇 20 年前的论文。
那篇论文由一位名叫 Ernie Croot 的数学家撰写，解决了所谓的 Erdős-Graham 问题的着色版本。在那里，整数被随机分类到用颜色区分的不同桶中：一些放在蓝色桶中，另一些放在红色桶中，依此类推。 Erdős 和 Graham 预测，无论用了多少不同的桶，至少一个桶必须包含单位分数。
Croot 从调和分析(与微积分密切相关的数学分支)中引入了强大的新方法，证明了Erdős-Graham 的预言。他的论文发表在顶级期刊《数学年鉴》上。
“Croot 的论点读起来很有趣，”乔治亚大学的 Giorgis Petridis 说。 “它需要创造力、独创性和大量的技术实力。”
然而，尽管 Croot 的论文令人印象深刻，但它无法回答 Erdős-Graham 猜想的正密度版本。
在将数字分类到桶中时，Croot 想要避开具有大素因数的合数。这些数字的倒数往往在通分加和时制造“不好”的分子。因此，Croot 证明了如果一个集合有足够多的成员和许多相对较小的素因数，它必须总是包含一个子集，其倒数加到 1。
Croot 证明至少有一个桶总是满足该性质，这足以证明着色结果。但在更一般的密度版本中，数学家不能简单地选择最方便的桶。他们可能不得不在不包含小素因数的数字的桶中寻找解决方案——在这种情况下，Croot 的方法不起作用。
“这是我无法完全解决的问题，”Croot说。
但二十年后，当Bloom 准备向他的论文研讨小组解读Croot的论文时，他意识到他可以做的更多。
“我想，等等，Croot 的方法实际上比最初看起来更强大，所以我试了几个星期，更强的结果就出来了。”
Croot 的证明依赖于一种称为指数和的积分。它是一个表达式，可以检测某个问题有多少整数解——在这种情况下，有多少子集包含等于 1 的单位分数之和。但有一个问题：几乎总是不可能精确地求解这些指数和。甚至估计它们也会变得异常困难。
Croot 的估计使他能够证明他正在使用的积分是正的，这一属性意味着在他的初始集合中至少存在一个解。
“他以近似的方式解决了这个问题，这已经足够了，”奥地利格拉茨科技大学的 Christian Elsholtz 说。
Bloom 调整了 Croot 的策略，使其适用于具有大素因数的数字。但这样做需要克服一系列障碍，这使得证明指数和大于零变得更加困难(也就是证明Erdős-Graham 猜想是正确的)。
Croot 和 Bloom 都将积分分解为多个部分，并证明了一个主要项是大而正的，而所有其他项(有时可能是负数)都太小而无法产生有意义的差异。
但是，尽管 Croot 忽略了具有大素因数的整数来证明这些项足够小，但 Bloom 的方法使他能够更好地控制指数和的这些部分——因此，在处理可能会带来麻烦的数字时，有更大的回旋余地。这样的麻烦制造者仍然可能成为拦路虎，但Bloom证明发生这种情况的地方相对较少。
“我们总是在估计指数和，”不列颠哥伦比亚大学的Greg Martin说。 “但是当指数本身有这么多项时，需要非常乐观才能相信你会找到一种方法来估计 [它] 并表明 [它] 大而正。”
Bloom 没有使用这种方法来寻找倒数和为 1 的数字集，而是使用它来寻找倒数相加为更小的组成部分的集合。然后，他将这些作为构建块来达到预期的结果。
“你没有诚实地找到 1，你可能会找到 1/3 ，但如果你以三种不同的方式找到 3 次1/3，那么只需将它们彼此相加，你就会得到 1。”
这让他对这个数字模式的真实性有了一个更强有力的陈述：只要一个集合包含一些微小但足够大的数字线片段——不管那个片段是什么样子——就不可能避免找到这些整齐的总和单位分数。
“这是一个了不起的结果，”不列颠哥伦比亚大学的 Izabella Łaba 说。 “在过去的 20 年里，组合数论和解析数论发生了很大的变化。这使得以新的视角和更有效的做事方式回到老问题成为可能。”
同时，它也给数学家留下了一个新问题要解决，这一次是关于不可能找到等于 1 的单位分数之和的集合。素数就是一个例子——没有互数和的素数子集到 1——但这个性质也适用于其他“更大”的无限集，因为它们的倒数之和比素数的倒数更快地接近无穷大。在隐藏结构重新出现并且它们的一些倒数不可避免地加到 1 之前，这些总和能以多快的速度增长？
“Erdős-Graham 猜想是一个非常自然的问题，但它不是完整的答案，”Petridis 说。
回到Bloom，他表示，其实是Croot把钥匙插进了门锁，实质上打开了那扇门——(Croot和其他人)却没有推开——他所做的一切仅是推开了虚掩的门。
https://www.quantamagazine.org/maths-oldest-problem-ever-gets-a-new-answer-20220309/