古神的游戏 在无限棋盘上玩 HEX 纳什棋

1942 年，丹麦科学家、数学家、作家和诗人，皮特·海因(Piet Hein)发明了 HEX 棋。

1948 年，著名的数学家，现代博弈论的开创者约翰·纳什在普林斯顿读书期间，也独立发明了这个游戏。它在普林斯顿风靡一时。教师和学生称之为Nash棋。

如果你好奇Nash棋的样子，可以点击下面的参考链接1，看第二页第一个图。(本来这种文配图也没有问题，就是操作麻烦点——相当于发无聊图，但我莫名被wexxo不定期禁言了，上传不了图片。所以未来一段时间，新鲜事里gif之类没有版权隐患的配图也不会有了。)如果懒得点连接，可以看下面文字描述~

Hex是两个人在一个菱形的棋盘上玩的。基本单元格是六角形。这也是HEX一词的本意。棋盘有两个对边涂“黑色”，另一组对边涂成“白色”。

一个玩家持白子，另一个玩家持黑子。目的是用自己的棋子把两条对边连接起来——就是用同色的相邻棋子形成一条链路，两头是两个同色边。谁先做到这一点，谁就胜出。

虽然 Hex 的规则很简单，但可以为许多数学概念提供见解。

比如说，你注意到没有， Hex 不会以平局告终。虽然直觉上，两方用棋子将棋盘填满后，若你没有把自己的两条边连接起来，则你的链路必然被对手阻断，也就是说他应该实现了连接。但数学上的严格证明则相当不容易。马丁加德纳被喻为美国一代人的科学老师，就在这里翻过车。

Hex 不会以平局告终，这一事实也被称为Hex 定理。想要知道证明的朋友，可以看参考1。实际上，可以证明，先手的玩家存在必胜策略。所以HEX不是一个公平的游戏。

最近，数学家考虑在一个无限大的棋盘上玩这个游戏。读到这里并认真思考的朋友应该已经发现了：这没法玩啊！无限大的棋盘就不存在所谓边框。

确实。

简单点说，数学家把获胜条件改为，一个玩家从左下(或右下)的无穷远到右上(或左上)的无穷远之间制造出一条链路，就算胜出。这只是文字描述，在数学上，这个胜利条件是可以精确定义的。

长话短说，数学家发现，在无限的棋盘上玩HEX，不存在必胜策略！也就是说，它现在是一个公平游戏。

不过有意思的是，对于有限的Hex，虽然它是个不公平的游戏，但人们却乐于去玩；对于无限的HEX，虽然它是完全公平的游戏，但绝不会有人类打算来一局。道理很简单，要想连接两个无穷远点，则需要落下无穷多的棋子，就算你每秒钟能下100个子，你也需要无穷多的时间才能下完一盘~ 只有超越时间维度之外的存在，才能用绝对公平的无限HEX 来打发时间。

参考资料

http://web.mit.edu/sp.268/www/hex-notes.pdf

https://arxiv.org/pdf/2201.06475.pdf