著名数学家Ben Green推翻了葛立恒的重要猜想

牛津大学的数学家Ben Green，就是和陶哲轩共享 Green-Tao Theorem 命名权的Green，构造反例推翻了葛立恒(Ronald Graham)关于范德瓦尔登数的一个重要猜想→http://t.cn/A6xnCDu3

葛立恒是Ronald Graham的中文名，来自他的华人岳母。或许你听说过葛立恒数。他曾是AMS(1993-1994)和MAA(2003-2004)的主席，于去年7月6日去世，享年84岁。

在当代组合数学领域里，最热门的课题之一就是拉姆齐理论。拉姆齐理论中有关于数字染色的范德瓦尔登定理。

1920年，当时的大数学家舒尔指出，如果用红蓝两色把自然数分成两部分，则长度为k(k随意指定)的等差数列，至少存在于某一染色集内。

1926年，范德瓦尔登用初等方法证明了舒尔的猜想(他称其为包特猜想)。思路是把无限转为有限，把染色对象限制在有限的集合内——仅仅给1到N染色；同时不限于两种颜色的染色，可以用n种颜色，给自然数着色。最终得到了以他的名字命名的定理。

葛立恒猜想就涉及有限自然数集上的红蓝二染色。比如说为了保证没有蓝色的等差数列，若染成红色的数字总共有n个，则数集里元素总数不能超过n^2个。按葛立恒的猜想就是如此，但Green说：这是错的，而且错的离谱。

举个煎蛋的例子来解释葛立恒的猜想。为了保证不出现等差数列，从1到6，我们这么染色：R B B R B R。则数字7就卡住了。若7是B，则3-5-7都是B，构成等差数列。反之，若7是R，在1-4-7都是R。你看我们没法保证在两个染色系统中都没有等差数列。但如果仅仅把目光停留在蓝色的数字上，我们可以用足够少的红色颜料，使数字集合里没有蓝色的等差数列吗？

猜想的内容很深刻，表述的简单性仅是惑人的外衣。或许这是马上就要结束的2021年里，关于拉姆齐理论的研究领域(范德瓦尔登数是拉姆齐理论中的子课题)最大的亮点。

Green借助几何和动力系统，用68页构造出非常、非常、非常长的等差数列，一举推翻了n-n^2 的基本关系。实际上随着n的增加，那个指数可以任意大。

当葛立恒告诉Green这个猜想时，后者凭直觉认为它一定是错的。他说："这看起来一点都不靠谱。”但他随后意识到，这个问题不可能存在一个简单的答案。他把它列入数学中100个未解决的问题清单。

即便如此，他并不满足于把这个问题留给其他数学家。当他坚信一个猜想是假的，但所有的数据都说它是真的时候，"我发现这是一个非常有吸引力的情况，可以挑战和工作。"

更加详细的报道可见：
https://www.quantamagazine.org/oxford-mathematician-advances-century-old-combinatorics-problem-20211215/