@ 2021.10.06 , 18:05

脑力小体操:猜密码之100%打开宝箱的策略

又到了小明的益智通关游戏环节。

本轮游戏是合作类型。场上有三位选手,主持人拿出一个宝箱,宝箱上有10个数字键(1-10),和一个确认键。

已知宝箱的密码是两个连续的数字,如1-2、3-4、9-10这种;当参赛者按下正确的密码再确认,就能打开宝箱,拿到奖励。

每个参赛者 只有一次 按确认键 的机会。也就是说每人只能试输入密码开一次宝箱。另外请注意,虽然密码是两个数字,但你输入的数字个数并没有限制,你可以仅仅按下1个数字就确认,也可以按下全部10个数字。

大赛组织者为了宣扬正能量,刺激选手选择合作共赢的模式,又给了以下特殊的提示手段:

当你输入密码并确认后,如果没打开宝箱,则舞台上的LED屏幕会显示,你输入的密码里包含几个正确数字!

为什么这一规则可以促进合作呢,因为这一信息仅对第三位上场的选手才有意义。作为之前积分最高的选手——小明,另有优待条件。他可以坐在监控席看到前面两位参赛者输入的密码,以及屏幕上反馈的结果。

同时,第二位参赛者看不到第一位参赛者的结果,他需要在封闭的房间里等待上场(组织方会复原宝箱和屏幕,所以他不知道第一位选手的输入结果)。所以,如果他们不想纯凭运气的话蒙一次的话,就要和小明合作;对小明而言,为了最大化胜率,也需要前两位输入“最合适”的密码作为推理依据。

游戏正式开始前,小明和两位参赛者还有几分钟的交流时间,定下对策。

现在问,若你是小明,能和两位临时战友商量出一个100%必胜的策略吗?


上一期 老张趁着国庆休息一天,打了两局文明……结果因为睡得太晚,今天上班迟到了。

他匆忙穿好衣服,习惯性地抓起桌上的钥匙,推门就走。随手把钥匙放进了(本来是空的)口袋。

问题是这样:平时老张桌上就一把公寓钥匙,用于进出家门;但昨天社区人员向各住户分发了一把钥匙,并表示过几天疫情严重则社区大门会上锁,这把钥匙用于进出小区门户。小区钥匙乍看之下和老张开自家门的钥匙非常像——而老张随手也把它丢到了桌上。

因为镜头没有切到,我们也不晓得老张有没有拿错钥匙。

在整个上午,这把钥匙就躺他的口袋里。这是家门钥匙吗?还是一把现在无用的小区钥匙?

在午餐时间,老张遇到了和他有一腿的同事。同事告诉他:“这样下去也没个头,我打算结婚了,不和你处了。好聚好散。”

然后,他把老张为他配的门钥匙还给了他。现在,备用门钥匙和那把未知的钥匙都放在了一个兜里。

经过一天的工作和波折,老张拖着疲惫的身体回到了家。到达家门口后,他把手伸进口袋,随意掏出两把钥匙中的一把(因为在他的意识里,两把钥匙都能打开家门),插进锁孔,一拧——它成功了!

现在问:他口袋里的另一把钥匙也能打开门的概率是多少?

来自 国庆不加班 的分析

三把钥匙分别记为:区(小区钥匙)、房(房间钥匙)、配(配的房间钥匙)。考虑第一次从口袋取钥匙的结果,总共有四种等概率情况:区配->区,区配->配,房配->房,房配->配。其中第一种情况开锁失败,第二种情况会在第二次取钥匙时开锁失败,后两种情况都能在第二次开锁成功,所以答案是 2/3


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