走进科学
数学前沿：80年前的“单位猜想”被终结
2月22日，一位名叫Giles Gardam的数学博士后在YouTube上直播了一个小时，讨论代数领域里的单位猜想。这是一个基本但令人困惑的问题，至今已有80多年的历史了。
Gardam详尽地梳理了本猜想和另两个相关猜想的历史，并解释了它们与被称为K理论的强大工具的联系。然后，在演讲的最后几分钟，他公布了他找到的反例——说明猜想并不成立。
他说：“时间不短了，直播要结束了，正好借这个机会告诉大家一个最新消息。我很高兴能够第一个宣布，实际上单位猜想是错误的。”
Gardam拒绝告诉听众他如何找到了人们期待已久的反例(目前仅确认是用计算机检索到的)。他告诉宽客杂志，他会在几个月后公布更多细节。但是现在，他说：“我很乐观，也许我还有足够的时间，获得更多的成果。”
在代数运算里，有所谓的乘法单位元。比如说最自然的单位元——1。2×0.5=1，我们说2和0.5互为逆元素。
然后，在代数结构里，运算对象不一定是通常的数字。比如说，在群结构里，元素可以是某种几何变换。如平移或镜面反射。在这种群里，保持不动就相当于单位元素。连续执行两个几何变换，若几何体回到最开始的位置，就说这两个几何变换是互逆的。
如轴对称的几何对象沿对称轴翻转两次，就回到了原本的状态。为了方便运算，把对称翻转这一操作标为r。则r*r=1(1在这里指代的是保持不变的操作)。也就是，r与自身互逆。
但如此一来，就会出现一些很奇怪的操作。如 r+2 乘以 -r/3+2/3，展开之后可以发现各项抵消，结果就是1。所以 r+2 和 -r/3+2/3 是互逆的。
(r + 2)(−r/3 + 2/3) = −r*r/3 + 2r/3 − 2r/3 + 4/3
= −r*r/3 + 4/3
= 1 (since r*r= 1)
1940年，代数学家Graham Higman在博士论文中提出了一个大胆的猜想：在最坏的情况里，像上面这种，a*R1+b*R2+c*R3……线性表示出的元素，当且仅当群包含某些幂1的元素时，才会存在可逆元。由于具有乘法逆的元素被称为单位，因此Higman的猜想被称为单位猜想。
在随后的几十年中，20世纪最主要的数学家之一欧文·卡普兰斯基(Irving Kaplansky)将该猜想与零除数猜想和幂等猜想打包在一起，推介给数学界。这三个因此也被称为卡普兰斯基猜想。
当时，几乎没有支持或反驳的证据。非要说的话，倒是有一个哲学上的理由。据说大数学家米哈伊尔·格罗莫夫(Mikhael Gromov)指出，群结构的问题在于，它们太丰富了；存在各种各样的群，以至于任何关于群的笼统的普遍陈述几乎总是错误的，除非那些明显为真的命题。
现在，明斯特大学的Gardam通过在由特定三维晶体形状的对称性建立的群代数内找到不寻常的“单位”(具有乘法逆的元素)，反驳了单位猜想。南安普敦大学的Peter Kropholler说：“这是一项了不起的工作。”
在20世纪下半叶，代数K-理论的出现，将代数与广泛的数学领域结合在一起。某些K-理论中的猜想，似乎蕴含了卡普拉斯基猜想。
但这方面的尝试，始终未能如愿。
尽管如此，数学家能够在某些特定的群里验证猜想。研究人员还知道一些群不具备可由自乘得到单位元的元素，如所谓的Hantzsche-Wendt群——群的元素来自将三维晶体的侧面粘合在一起而建立的结构。
Hantzsche-Wendt群似乎是寻找反例的好地方。但那可不是容易的工作：Hantzsche-Wendt群是无限的，且在2010年，两位数学家证明，如果群中存在一个反例，那么它肯定不是简单几个项的和。
现在，Gardam在由Hantzsche-Wendt群元素构成的代数结构中，找到了两个具有21个项的乘法逆。虽然我们还不知道Gardam如何构思出它们，但验证结论却十分容易——只要把它们相乘，然后检查结果中441项是否能够相互抵消，最终得到1。
论文：https://arxiv.org/abs/2102.11818
https://www.quantamagazine.org/mathematician-disproves-group-algebra-unit-conjecture-20210412/
celk：
必要的概念还是要讲一下吧，不要因为“读者看不懂”所以就省掉一些中间步骤，省略了之后更加看不懂了……
首先要讲“群”的概念，例如在x-y平面上可以定义“绕x轴翻转”“绕y轴翻转”这两种几何变换。
把这两种操作分别叫做 X 和 Y 吧，那么可以将它们组合成一个新的几何变换“先绕x轴翻转、再绕y轴翻转”，这个操作就可以叫做 YX，即 Y 乘以 X。
仔细想想，“先绕x轴翻转、再绕y轴翻转”不就等于绕原点旋转180°吗，那么把“绕原点旋转180°”叫做 Z 的话，于是 Z = YX。
再加上“啥事都不干”这个操作(把它叫做 E 吧)，那么 E、X、Y、Z 这四个元素就构成了一个群，其中任意两个元素组合的结果还是这四者之一，例如 YY = E。
然后我们再发明一个东西叫 0.5X，你甭管“0.5个绕x轴翻转”是什么意思，你只管算就可以了，例如 0.5X 乘以 3Y 就应该等于 1.5XY，也就是 1.5Z，完事。
还有加法也是同理，你甭管 X+Y 代表什么意思，你只管算，(X+Y) 乘以 Y 就等于 XY+YY，也就是 Z+E，完事。
于是我们就用 {E, X, Y, Z} 这个“群”来构造出了一个“群代数”，也就是类似于“以 E、X、Y、Z为变量的多项式”这么个东西。
多项式运算大家都很懂了，不同就是，以往我们熟知的说法是 X 与 1/X 互逆，而这里 0.5X 乘以 2X 等于 XX，也就是 E，所以我们说 0.5X 和 2X 互逆。
更奇怪的是，(2X + E) (2X – E) = 4XX – EE = 3E，等式两边除以3就可以得知， (2X + E) 这个“多项式”是可逆的，这是很不寻常的，全靠了有 XX = E 才成立。
更进一步，假如一个群里存在某个元素 X 使得 X 的若干次幂等于 E，那么由这个“群”所构造的“群代数”就存在类似于 2X + E 的非平凡可逆多项式。并且我们猜想，假如群里没有这种元素 X 的话，那么构造出来的“群代数”就不存在这种非平凡可逆多项式。这就是“单位猜想”。
ps: 根据群的定义，任意一个群的任意一个元素 X 都存在逆，比方说 X 的逆叫做 A 的话，那么由这个群所构造的“群代数”就存在一些平凡的可逆多项式，例如 0.5X 的逆就是 2A。所以这个猜想关心的仅限于除此以外的那些非平凡的可逆多项式，不能是单项式。