@ 2021.04.04 , 11:51

数学进展:认识一下敏感、脆弱的特殊质数

来,看看这几个数字 294001,505447和584141。注意到它们的特别之处了吗?或许心算能力强大的你意识到它们全是质数。

但除此之外,还另有玄机。如果我们改变294001任意 数位 上的数字,它都会变成一个合数——如把个位上的1改成7,得到的数字就可以被7整除;改成9,就可以被3整除。

这样的数字被称为 "数位敏感的质数",是比较新的数学概念。要注意这里的定义。像13就不是数位敏感的质数,虽然把个位上的3,换成5,可以变成15(合数);但改成1,变成11,则依然是质数。数位敏感意味着,把任意数位修改成任意合法数字(第一位数字不为0),结果都是合数,这样才符合数位敏感的定义。

1978年,数学家Murray Klamkin想知道是否存在数位敏感的质数。他的问题很快得到了有史以来最多产的数学家之一 Paul Erdős的回应。后者不仅证明了它们确实存在,而且还证明了它们的数量是无限的——结果不仅适用于十进制,而且适用于任何进制系统。此后,其他数学家又扩展了Erdős的结果,包括菲尔兹奖章获得者Terence Tao——他在2011年的一篇论文里证明,数位敏感质数在质数中分布稳定。

现在,南卡罗来纳大学的Michael Filaseta连发两篇论文,将上面的定义进一步扩大,提出了一类更加稀少的数位敏感质数。

在Erdős和Tao的工作的激励下,Filaseta想知道如果把质数的前面加一串无限的前导零,会发生什么。毕竟,数字53和...0000000053具有相同的值;如果一个质数前面的无限的0,被随意地修改,是否可能使质数变成合数?

Filaseta决定把这样的数字(假设它们存在)定义为"广义数位敏感",他在2020年11月与他的前研究生Jeremia Southhwick合写的论文里讨论了它们的特性。

不足为奇的是,附加条件使得这类数字更难被找到。"294001是数位敏感的,但不是广义敏感的。"Pollack说,"因为如果我们把......000294001改为......010294001,我们就会得到10294001——另一个质数。”

事实上,尽管Filaseta和Southwick进行了大量的搜索,也没能在十进制中找到一个广义敏感质数的例子。但这并不妨碍他们推导出这类假定存在的数字所应具有的特征。

首先,他们证明了这样的数字在十进制中确实是存在的,而且,数量是无限的。更进一步,他们还证明了广义敏感质数也是在质数中分布稳定的。

证明依赖于两个工具。第一个叫做覆盖系统或覆盖同余,由Erdős在1950年发明,用来解决数论中一个原不相干的问题。

"覆盖系统,就是给你一大堆桶,同时保证每个正整数至少在其中一个桶里。"最简单的,根据除以2得到的余数——1或0——我们能把全部自然数装到两个桶里。

当然,数位敏感质数的情况就比较复杂了。我们需要更多的数桶,大约是10^25000个。

第二个工具叫筛子。筛法可以追溯到古希腊,陈景润用来证明哥德巴赫猜想“1+2”所用到的工具,就是他升级过的筛法。

"Filaseta-Southwick定理,"Pollack说,"是覆盖同余技术上一个美丽而意外的收获。"

然后,在1月份的一篇论文中,Filaseta和他现在的研究生Jacob Juillerat提出了一个更加惊人的定理:存在任意长的连续质数序列,序列每一项都是广义数位敏感的。

Filaseta和Juillerat分两个阶段证明了他们的定理。首先,他们用覆盖系统论证了有一个包含无限多质数的桶,所有这些质数都是广义敏感的。

第二步,他们应用了Daniel Shiu在2000年证明的一个定理,证明这个桶中包含任意数量的连续质数。这些连续的质数,由于在这个桶中,必然存在广义敏感的情况。

达特茅斯学院的Carl Pomerance非常喜欢这些论文,他称Filaseta是"将覆盖式同余应用于许多有趣的数论问题的大师。数学可以是把理论打磨到极致的艺术,也可以是纯粹的娱乐"。

https://www.quantamagazine.org/mathematicians-find-a-new-class-of-digitally-delicate-primes-20210330/

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