听音辨鼓：从数字信号模拟到宇宙形状

著名的听音辩鼓问题

1966年，数学家马克·卡克(Mark Kac)提出了一个留名科学史的问题：“有人能听出鼓的形状吗？” 毕竟，不同形状的鼓会产生不同频率的波，因此会产生不同的声音。那这些信息足以确定出鼓形状吗？当时，卡克认为答案是不能。但是后来一系列研究指出，卡克的看法不对。

如今，数学界最重量级的2位大家对这一问题进行了再思考——过去两年里，沃尔特·范·苏伊克科姆(Walter van Suijlekom)和阿兰·孔涅(Alain Connes)又进行了更深入的研究，并获得了新的见解。

Van Suijlekom和Connes于1982年获得了久负盛名的菲尔兹奖章，他们研究了有限数量的振动如何提供有关物体形状的信息。为此，他们开发了一种新的数学理论，描述了如何通过“局部听鼓的形状”来非常精确地估计完整形状。

现在，Walter van Suijlekom于7月14日在《数学物理通讯》撰写了解释文章。“让我们将其与MP3进行比较。音乐作品是由乐器作为模拟信号产生的，具有无限的声音频率。但是，通过将模拟信号限制为有限数量的频率可将该信号数字化；也就是一个MP3文件。”

他什么意思呢？全部音乐作品的频率范围是无限的，但是MP3的数字信号频率总体范围是有限的，而我们仍然能把任何一首音乐做成MP3文件——虽然音质有损，但是不妨碍我们听出那是那首曲子。类似的道理，虽然鼓声传递的信息不完全，但是足够我们确定鼓的大致形状。

估算出宇宙的形状

就像数字MP3仍可提供模拟源的概念一样，我们对宇宙的有限观察也提供了足够的信息，以使人们对模拟源有更好的了解。利用恒星和其他天体发出的光频率，科学家可以确定这些物体的外观。

Van Suijlekom：“我们正在开发使之成为可能的数学。通过这种方式，我们描述了当只有有限数量的振动可用时，如何计算物体的形状，就像在物理实验中一样。”

这意味着，原则上，也应该可以使用有限数量的频率来估计宇宙的形状。

更多信息： 非交换几何和运算符系统中的谱截断。arxiv.org/abs/2004.14115