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孪生素数猜想在有限域多项式环上的版本得到了证明
翻译：clkw
原文：https://www.quantamagazine.org/big-question-about-primes-proved-in-small-number-systems-20190926/ (有大幅度删改)
9月7日，两位数学家贴出了数学上最著名的悬案之一“孪生素数猜想”的变化版本的一个证明。这一问题已经折磨了数学界超过一个世纪，它揭露了算术系统内一些深层次的特性。哥伦比亚大学的Will Sawin 和威斯康星大学麦迪逊分校的 Mark Shusterman 在一个较小但仍具有丰富性质的数字世界里证明了这一猜想，并同时得到了一些前所未有的新知识。
孪生素数就是仅相差2的素数对，例如5和7，17和19，猜想说这样的素数对存在无限多个。不仅如此，人们还猜想对于任意偶数间隔的素数对，也都存在无限多对。例如间隔为4时，3和7是一对，13和17是一对；间隔为14时，3和17是一对，293和307是一对，等等。
Alphonse de Polignac 在1849年提出了现在这个形式的孪生素数猜想，在其后的160年间数学家们进展甚少。而在2013年，该堡垒有了明显的裂痕，张益唐证明了，存在无限多对间隔不超过7000万的素数对。次年，James Maynard 和 Terry Tao(陶哲轩)等数学家将这一间隔进一步缩小了非常多。最新的进展是存在无限多对间隔不超过246的素数对。
然后就卡住了。数学家们需要新的想法才能完全解决这一问题。“有限域”就是狩猎新创意的好地方。
“有限域”示意图
要构造“有限域”，你可以想象把有限个数字(例如1到5)顺着摆到钟面上，然后你就懂了，在这个钟面上，4加3等于2，3乘以2等于1，加法减法乘法都没有问题，甚至除法也没有问题。可是“没有问题”就是个问题：在钟面上我怎么找素数呢？自然数里面7是个素数，不能被3整除，但是在这个钟面上，7等价于2也等价于12，能够被3整除。实际上，在有限域里面，每个数字都能被任意另一个数字整除，没有例外，也就没有素数。(注意这是因为自然数5是素数才成立，我们日常的钟面一圈是12，没有这个性质)
因此，有限域上的孪生素数猜想是关于“素多项式”的——例如像 x²+1 之类的。
举个更简单的例子，假如只取1、2、3构成的有限域，那么这个有限域内的多项式就是以这3个数作为系数的多项式，它们构成了一个数学上叫“环”的结构，就好比整数也构成了“整数环”那样。接下来和“素整数”类似，我们定义“素多项式”就是不能分解成更小的多项式的多项式。x²+x+2 就是一个素多项式，而x²-1则能被分解成(x+1)乘以(x-1)。
接下来就有了孪生素多项式，例如x²+x+2 和x²+2x+2，两者都是素多项式，并且只间隔一个多项式“x”。这里我们也可以取别的多项式作为间隔，但总之，有限域多项式环上的孪生素数(素多项式)猜想说，存在无限多对间隔为x的素多项式对，并且，假如我们要求间隔不是x而是另一个多项式，也照样存在无限多对。
虽然有限域和素多项式似乎太多人工的痕迹，和一般的整数并无关系，但Shusterman说，整数和多项式之间存在着历史悠久的类比关系，使得你可以将一个可能很难的整数问题变换成一个可能也很难但至少有迹可循的多项式问题。
有限域在20世纪40年代异军突起。当时André Weil想出一个办法将小数字系统内的算术翻译成整数内的算术。他将其用到极致，证明了可以说数学上最重要的问题——黎曼猜想——在有限域的曲线上的版本(那又被称作几何黎曼猜想)。这一证明加上他的一系列Weil猜想，共同将有限域打造成了有利于数学发现的丰腴之地。
Weil的远见在于，在有限域背景下，你可以用几何学方法来回答数论问题。首先，你要把一个多项式想象成空间里的一个点，多项式的系数就是其坐标。例如在只由1、2、3组成的有限域里，多项式2x+3对应的就是二维空间里的点(2,3)。多项式的次数可以无限提高，因此x²-3x-1就被表示成三维空间里的一个点，3x^7+2x^6+2x^5-2x^4-3x³+x²-2x+3就被表示成八维空间里的一个点，等等。
在新论文里就用一个这样的几何空间来表示给定一个有限域上的给定次数的多项式集合。于是问题变成：有办法从中独立出所有代表素多项式的点吗？
Sawin 和 Shusterman 的策略是将整个空间划分成两部分，一部分是所有拥有偶数个素因子的多项式对应的点，另一部分是所有拥有奇数个素因子的多项式对应的点。这样一来，有限域孪生素数猜想所关心的是素多项式——也就是只有一个素因子的多项式，所以偶数个素因子的那块空间可以扔掉不管了。
空间划分示意图
关键在于空间划分方式。对于二维曲面，例如球面，一维曲线可以将其分成两部分，就像地球赤道线那样。其他高维空间也类似，要用低一维的物体来将其分开。只不过划分多项式空间所用到的低维物体不像赤道那么简单，而是用到了所谓的默比乌斯函数。假如一个多项式有重复的素因子(即某一个素因子的次数达到2或以上)，那么函数的值就是0；假如它的每个素因子都只出现一次，那么就看这些两两不同的素因子一共多少个，偶数时函数的值是1，奇数时函数的值是-1。
默比乌斯函数画出的曲线非常狂野，还会扭回来与自身相交很多次，这些交点(称作奇点)的地方非常难分析，它们对应于拥有重复素因子的那些多项式。Sawin 和 Shusterman 的主要创新在于找到了一种精确的方式来把曲线形成的无数回环切割成较短的片段，从而更方便于分析。
他们过滤出只有奇数个素因子的多项式后(这一步最难)，接着就要确定其中哪些是素多项式，并且哪些形成了孪生对。这时他们就可以使用数学家们研究自然数中普通素数时用到的一般公式方法了。
Sawin 和 Shusterman 由此证明了关于某些有限域上的素多项式的两个主要成果：
第一，有限域背景的孪生素数猜想是对的，无论你选取什么多项式作为间隔，这样的孪生素多项式对都存在无数对。
第二，他们的工作甚至还算出了给定次数的多项式当中你能期望找到多少对孪生素多项式的精确数字。这类似于知道了数轴上给定长度的区间内你能期望找到多少对孪生素数。数学家梦寐以求的结果。
特拉维夫大学的 Zeev Rudnick 说，这是首个能回答我们该在整数身上期待什么的定量类比的工作，而且非常醒目，以往没有出现过这样的成果。
我们能从 Sawin 和 Shusterman 的证明里看出，在André Weil 证明了有限域曲线上的黎曼猜想之后已有近80年了，数学家们仍很有干劲地追随着他。其他研究孪生素数猜想的数学家也将转向Sawin 和 Shusterman的工作，希望这能激发更多的灵感吧。