@ 2014.06.12 , 20:37
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0.999……等于1么?这个问题有什么意义?

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这周我(原文作者,下同)在IO9发了一篇问答,其中一个问题是:无限循环数如何相加才能得到一个有限数的和?

这是芝诺悖论后又一个困扰着诸多数学家们的难题。在芝诺悖论中,一个人如果要过街,他首先走完总程的1/2,接着走完剩下1/2的1/2,以此类推,无穷尽也。几个月前有一个视频认为:

1 + 2 + 3 + ….的和为-1/12,一时间被疯狂转载,网络上顿时掀起热烈讨论。(煎蛋也转载了这篇)

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不过说到无穷数谜,大多数人第一次遇到的就是:0.999……无限重复下去,最后会等于1么?

从魔兽世界游戏中的留言板到安·德兰论坛,大家对这个问题的争论非常火爆。对于芝诺悖论,大多数人都觉得题中人最后会到达街对过。可同样的情形放到循环小数里,直觉就会告诉你0.999……怎么也不会等于1啊。光是看就知道0.999……比1小,但是差的却不多……大家都认为0.999……这个数只是不断接近目标,却永远也不会达到。

不过,他们的老师(包括我在内),会说:错,0.999……就是1。

想要说服人们站到我这边,我就要用下面的方法:

众所周知, 0.33333……=1/3

两边同时乘以3得到0.999… = 3 / 3 = 1

如果这还不足以让你动摇,试试把0.999…乘上10,也就是将小数点向右挪了一位,所以我们得到了

10 x (0.999…) = 9.999…

现在把两边的烦人小数都去掉,我们在等式两边同时减去0.999……

10 x (0.999…) - 1 x (0.999…) = 9.999… - 0.999…..

得到了9 x (0.999…) = 9.

什么数乘以9会等于9?自然是1。

对于大部分人,这种证明方法就足够了。但是老实说,这套证明体系缺了点什么,也没有真正解决0.999……=1的不确定。事实上这种手段只是用了些代数上的小把戏,你不会真的以为1/3=0.333……吧?
比起相信1/3=0.333……,其实还有更可怕的:

1 + 2 + 4 + 8 + 16 + …?

省略号在这里的意思是相加过程会永远持续下去,每次相加的数字大小都是上一次的两倍。这么大的和毋庸置疑应该是无穷大了。但是你试试乘以2,会发生什么?

2 x (1 + 2 + 4 + 8 + 16 + ….) = 2 + 4 + 8 + 16 + …

好像和原来的和差不多,只是(1 + 2 + 4 + 8 + 16 + …)前面多了个1,所以(2 + 4 + 8 + 16 + …)比(1 + 2 + 4 + 8 + 16 + …)小1,换句话说:

2 x (1 + 2 + 4 + 8 + 16 + …) - 1 x (1 + 2 + 4 + 8 + 16 + …) = -1

相减得到:

1 + 2 + 4 + 8 + 16 + … = -1

将越来越大的数字相加无限次,结果却等于-1?

更疯狂了来了,求下列无穷和:

1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + …

有人会这样理解:

(1-1) + (1-1) + (1-1) + … = 0 + 0 + 0 + …

除了上面这种和为0的观点,还有一种理念认为应该这样看待算式:

1 - (1 - 1) - (1 - 1) - (1 - 1) - … = 1 – 0 – 0 – 0 …

结果和为1,到底是0还是1?还是“一半时间是0,一半时间是1?”最后的值是多少取决于你停在那里,但是无穷和是不会停的!

先不要着急下结论,我们先假设T是这个神秘的和:

T = 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + …

两边同时取负

-T = -1 + 1 - 1 + 1 - …

我们注意到右边刚好是T-1,也就是说:

-T = -1 + 1 - 1 + 1 - … = T - 1

所以 -T = T - 1,这个方程只有当T=1/2时才有解。一个由许多整数相加的无穷和到最后竟然神奇地出现了分数解?

你是不是还是觉得没有道理?但是包括意大利数学家格兰迪在内的一些人表示1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + …最后会出现分数解,许多时候,人们将1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + …称为格兰迪级数。在1703年发表的一份文章中,格兰迪认为这个发散级数的和应为1/2,这个不可思议的结论也代表了宇宙从无到有的造物过程,许多当时的著名数学家,包括莱布尼茨和欧拉都赞同格兰迪的计算,不过不包括他的证明过程。

实际上,0.999……之谜的答案还需要更深入的探索。你无须勉强同意我的代数解法,你完全可以坚持认为0.999…不等于1,而等于1减去一个无穷小的数。既然说到这里,0.333……同样不等于1/3,同样差无穷小的那么一点点。要证明这点需要一点力气,不过也不是做不到。在数学领域,非标准分析这门学科就是专门研究这种数字问题的。非标准分析理论由亚伯拉罕·罗宾逊在20世纪中期创立,也正是非标准分析的出现,人们才终于搞清楚了无穷数的概念。要研究无穷数,你不仅要研究无穷小数,还要研究无穷大数。

好吧,回到我们的问题上来,0.999… 到底是什么?是1么?还是比1小无穷小的数?

现在揭晓正确答案:0.999……可以表达为:
0.9 + 0.09 + 0.009 + 0.0009 + …

这又是什么意思?其实看着让人厌烦的省略号才是真正的问题所在。如果我们有100堆东西,我们还是可以数得出具体数量。但是无穷多我们要怎么办?问题变得不一样了。真实世界绝不可能出现无穷多的“堆”。那么无穷和的数学值又是什么?答案是——除非我们给于一个值,否则不存在这样一个值。法国数学家柯西提出了这个伟大创新理念,他在19世纪20年代将极限这个概念引入了微积分。

伟大数学家哈代在《发散级数》一书中很好的解释了这个问题:

“除非符号分配被定义,现代数学家从来不会认为数学符号有‘意义’,即便是18世纪最伟大的数学家也不觉得定义符号是件琐碎的事情。现在的数学家们都没有定义的习惯:他们觉得写上“我们将X定义为Y”这么许多字相当不自然。”在柯西之前,大多数数学家都会问“1 - 1 + 1 - 1 +…等于几?”,他们不会问“如何去定义1 - 1 + 1 - 1 +…?”这种思维习惯让这些数学家陷入不必要的困惑和争论中。

随着你0.9 + 0.09 + 0.009 + …不断相加下去,最后的值会越来越接近1。最后这个无穷和会随着无穷的相加,最终到达1,并且永远留在1的位置。哈代则认为,这个无穷数应该被简单地定义为1,他也花了一番功夫证明这样定义不会造成其它地方出现什么大矛盾。

对于格兰迪级数1 - 1 + 1 - 1 + …,柯西的理论不管用了。用Lindsay Lohan的名言说就是:极限不存在!

崇尚柯西解法的挪威数学家Niels Henrik Abel在1828年写道:“发散级数是恶魔发明出的东西, 任何基于发散级数的证明都是自取其辱。”而哈代的观点(也是我们今天的观点)更为宽容。对于某些发散级数,我们可以赋值,对于另一些发散级数,我们则不应该赋值。现代数学家会说如果要对格兰迪级数赋予一个值,那么就应该是1/2,因为在所有关于无穷和的理论中,但凡能够引起一些注意的,要么认为这个级数的值为1/2,要么像柯西一样拒绝赋值。1+2+3+4……这个级数的情况也很相似,这是一个发散级数,柯西会说这个级数没有值。但是如果真的要给这个级数一个值的话,-1/12可能是最好的选择。

0.999…这个问题之所以能引起如此大的争论,因为它与我们的直觉不符。我们希望任何一个无穷级数都恰好能够符合运算操作,所以好像0.999……需要等于1。另一方面,我们希望每个数字都有一串唯一的小数位数表示,这就与同样一个数既可以用1表示,也可以用0.999…表示相矛盾。两种愿望无法共存,所以必须舍弃其中一个。柯西用独一无二的十进制展开打开了一扇解决这个问题的窗户,在提出后的2个世纪里,这种解法的价值得到了充分证明。

虽然英语有时候使用两种不同字母串(例如,两个单词)来表示世界中一样相同东西的两种同义词,但是我们并没有因此产生任何困扰。同样的,两种不同的数字串表示同一个数字也不是什么天塌下来的事情。

0.999……等于1么?没错,0.999……确实等于1。前提是我们大家一致同意这个不断重复的无穷小数的意思就是1。

本文译自 Slate,由译者 王大发财 基于创作共用协议(BY-NC)发布。


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[3] 2 »
  1. 捷克
    @2 years ago
    3090802

    或许从十进制的出现,就决定了这些悖论的存在。不能无视,也不必要过于深究。

  2. 七大原因
    @2 years ago
    3013707

    每个字都看的懂,合成1篇文章看不懂

  3. 2996338

    0.999…这个问题之所以能引起如此大的争论,因为它与我们的直觉不符。我们希望任何一个无穷级数都恰好能够符合运算操作,所以好像0.999……需要等于1。另一方面,我们希望每个数字都有一串唯一的小数位数表示,这就与同样一个数既可以用1表示,也可以用0.999…表示相矛盾。两种愿望无法共存,所以必须舍弃其中一个。柯西用独一无二的十进制展开打开了一扇解决这个问题的窗户,在提出后的2个世纪里,这种解法的价值得到了充分证明。

    虽然英语有时候使用两种不同字母串(例如,两个单词)来表示世界中一样相同东西的两种同义词,但是我们并没有因此产生任何困扰。同样的,两种不同的数字串表示同一个数字也不是什么天塌下来的事情。

    0.999……等于1么?没错,0.999……确实等于1。前提是我们大家一致同意这个不断重复的无穷小数的意思就是1。

    [王大发财 via Slate]

  4. 求学者
    @2 years ago
    2973473

    现有数学体系是由柯西等人建立起来的。而柯西的做法是赋值。这可不就好理解了嘛!接受现有数学体系,就接受这个赋值。

  5. 求学者
    @2 years ago
    2973472

    美国威斯康辛数学系教授出过本书,书中有提到上文内容(基本一样)。

  6. 求学者
    @2 years ago
    2973470

    @Adder: “如果0是无限的,后面不可能还能找到一个放1的位置”这是由哪个定义给出的推导?

  7. 2438373

    不得不说,slate超棒的

  8. 2438268

    又引起我高中的回忆

  9. 草丛科学技术
    @3 years ago
    2437889

    这么简单的问题。这个表达式写完整是omiga lim(n=1)(n→∞)(9*10^(-n))=1。
    “limSn=A”定义为all ε>0,Exist n>N(ε),使Sn-A<ε。和等号本身的定义不一样。
    完。

    我们使用等号只是因为很多地方,"="和"lim="有相同性质。
    微积分基础的基础,有什么好吵的。

  10. edjarod
    @3 years ago
    2437822

    纠结了不应该看到的

  11. ivalyn
    @3 years ago
    2437784

    这有什么好惊奇的,我们的宇宙就是用数学写的代码构建出来的,这只是代码里的bug而已,打个补丁就完了呗,

  12. 歆垣
    @3 years ago
    2437689

    这明明是伪命题。。数位都不一样。。本身就不成立。。

  13. dualshock3
    @3 years ago
    2437556

    不好意思按错发送了,我接着说:
    那惊人的时空现象就会出现……2S并不是加刚才时刻自己要加的下一个数,而是会将S此刻下一个要加的数乘2后加到后面,立刻反超S继续保持着两倍于S的速度彭大,S不再次施展时间停止的话依然追不上2S,而2S在时间静止时本来要加的数则消失在了时间裂隙里。

  14. dualshock3
    @3 years ago
    2437538

    我觉得极限应该引入时间这个概念,比如S=1+2+4+8+16……这个例子,它就像一个不断彭大的球,如果把Sx2得到2S,那2S的彭大速度就是S的2倍,S不可能追上2S。上文中能算出S-2S=1那是因为S和2S根本不在一个时间点,他是先让2S静止,让S刚刚累加到比2S多1时立即静止,此时两者相减得S-2S=1。如果此时两者恢复时间流动,那惊人的

  15. 池塘王子
    @3 years ago
    2437535

    前几周正好帮亲戚家孩子做一个数学题,把无限循环小数写成分数的表达形式(小学奥数已经如此变态!),其中有一个就是0.9999…用标准解法解出来的的结果是1。

  16. 2437353

    强迫症玩家是不能搞数学的

  17. 辉辉
    @3 years ago
    2437298

    @123: 对啊,因为不相等啊。

  18. 辉辉
    @3 years ago
    2437297

    @ro: 为什么现在这么多数学无关专业的人跑出来说自己懂数论?

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