@ 2021.05.30 , 00:18

脑力小体操:反直觉的骰子

像下面的问题直接求期望……一般来说,我尽量不使用数学味太浓的问题,但这个问题实在是非常精确,非常反直觉。来源似乎是14年左右,以色列一所大学里的研究生在讨论课上,向导师提出的问题。是新千年里难得的妙题:形式简单,但结果出人意料,发人深省。

现有一个理想的经典6面骰子。

假设“凑巧”每次投掷的时候,出现的全是奇数(点数∈{1、3、5})。

问:投出1点的平均等待次数是多少(算上成功投出1的那一次)?

如果一个随机数生成器,等概率地蹦出1、3、5。则平均等待时间显然是3次。

直觉上,大家或许感觉骰子的答案应该也是3次。但如果数值模拟一下,就知道肯定不对。

为了避免歧义,再解释一下怎么“凑巧”点数都是奇数。

就是在某轮实验里,在投出1之前,若投出了偶数,则本次实验无效,不计入统计。

最后在有效的实验场次里,计算平均等待时间/次数。


测试一下自己的物理直觉?

一块三角形的木头板,正视图如下

脑力小体操:反直觉的骰子

现在把它钉在墙壁上,三角形底边未必水平。已知构成三角形的斜面都打磨的非常平整、光滑。

现在,我有一条非常柔软,光滑(且均质,当时忘了加这个条件)的大金链子。把它搭在那个三角形板上。大致如上图。

第一问,搭在三角形上的链子是否会发生滑动。如果使用正玄定理+受力分析,也能得到答案,但是,有个非常直接且有说服力的理由,可以直击要害。

第二问,现在我剪断三角形下面链子的悬垂部分。问,搭在三角形两个面上的部分,是否会滑动?

DickLongman评论道

这个问题其实就是the epitaph of Stevinus,但是Stevin自己也没有证明好这个问题。有一个关键点在于:下方悬挂部分不一定不会发生形状变化。
按一般的受力分析的“摆放-松手”来理解,如果松手之后下方悬挂部分不会发生形状变化,链条才会静止,否则就出现了角动量无限增加的永动机。此时下方悬挂部分与两个顶点自平衡,从任意水平面方向(垂直于重力方向)剪去下方的一段(包括极限情况即剪开最下方相切的点)都不会破坏平衡,反之则会破坏平衡导致链条滑动。
如果松手之后下方悬挂部分会发生形状变化,后续又分为两种情况。第一种情况为不会增加角动量,即下方悬挂部分做重力方向的周期运动,此时第二问的结论与平衡时相同。
第二种情况是悬挂部分的形状变化会增加角动量,此时上方链条会做周期性滑动,下方链条会做一个类单摆的运动。第二问的结论为当且仅当链条处于角动量为零的两个极限状态下时,将下方链条中从顶点开始不是垂直的部分从一个水平面处全部切断(其中一种情况为三角形底边为水平,链条角动量为零时全部截去下方链条),其余链条才不会滑动,否则会滑动。

这里的Stevinus是Simon Stevin, 生卒年代1548 – 1620。

这个名字大家或许很陌生,但他的主要成就,可以说接受过9年义务教育的人,都十分熟悉。

Stevin是已知的第一个推导出力的平行四边形法则的人——就是用平行四边形法则分解力。可惜的是,当时没人注意到。所以,历史上这一荣誉被归于 Pierre Varignon。

就因为他掌握了分析力的工具,所以Stevin提出了一个类似我们“金链子三角形”的问题:斯特文努斯的墓志铭the epitaph of Stevinus。虽然斯特文的结论是正确的,但证明有某些逻辑上的缺陷。

他还发现了流体静力学悖论,即液体中的压力与容器的形状和底部的面积无关,而只取决于其高度。

他还给出了一个容器侧面任何给定部分的压力的测量方法。

他是第一个用月亮的吸引力来解释潮汐的人。

1586年,他证明了两个不同重量的物体以完全相同的加速度落下。

此外,他在音乐、复式记账法等领域均有建树。而在Stevin生前,就因为发明了陆地游艇而声名大噪,以及在水利工程方面的工作改进了水闸和泄洪道的设计。


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