@ 2021.05.21 , 00:07

脑力小体操:测试一下自己的物理直觉?

一块三角形的木头板,正视图如下

脑力小体操:测试一下自己的物理直觉?

现在把它钉在墙壁上,三角形底边未必水平。已知构成三角形的斜面都打磨的非常平整、光滑。

现在,我有一条非常柔软,光滑的大金链子。把它搭在那个三角形板上。大致如上图。

第一问,搭在三角形上的链子是否会发生滑动。如果使用正玄定理+受力分析,也能得到答案,但是,有个非常直接且有说服力的理由,可以直击要害。

第二问,现在我剪断三角形下面链子的悬垂部分。问,搭在三角形两个面上的部分,是否会滑动?


上一期 薛定谔的赌局悖论

假设诸位参加一种赌博游戏。

规则如下

一大摞白纸板,两面都可以写字。已知里面有10张纸板两面全都写的阿拉伯数字 1 / 2;有100张两面 2 / 3;……;有10^n张 n / n+1,……

纸板早已被打乱。

现在,主持人把某张随机选出的纸板,立在你和竞争对手之间——你们两人只能看到自己那一面上的数字。

你看到的数字,就是你的点数。然后比较双方的点数大小,小着为胜。

请注意,如果你看到的数字是 15,则这张纸板可能出自10^14张 (14 / 15)里的一张的背面上的15。但另一方面,它也可能是 10^15 张 (15 / 16) 某张正面里的15。

显而易见,后者可能性是前者的10倍!

换句话说,当你是15的时候,你的对手只可能是14或16,但他是16的可能性是14 的十倍。所以,局面对你有利,不妨押上大注。

但是,大家发现没有,如果我们带入对手,则上面的推理过程也是一样成立的!

换句话说,局面对对手也有利。

在零和游戏里,局面怎么可能对双方同时有利?

关于答案,很多朋友注意到,如果纸板数量无限,则问题本质和 著名的双信封悖论 近似。实际上,我们无法在测度为无穷样本空间上定义均匀分布!

但,正如ID为 L 的朋友的评论:

明显本题核心点不是无限, 好多人拿无限说事是跑偏了
接下来分析, 首先总体胜率是50%是显然的, 因为抽到哪张牌其实并不影响胜负,每张牌都是一大一小, 影响胜负的是哪一面对着你, 显然和扔硬币差不多(说不定主持人就是用扔硬币决定哪面对着你)
从新梳理一下问题, 你看到了一个数, 这个数不是1也不是最大数, 就假设最大数是10(n=9),你看到了5, 求此时胜率 , 此时牌已经抽出来了, 这就变成条件概率, 这张牌要么是4/5 要么是5/6 ,是5/6就赢, 而它们数量比是1:10, 所以你判断此牌是5/6的概率有10/11,赢面超大 ,但是容易得出对任意选手,只要他看到的数字不是最小或者最大, 根据上述推理都能得出赢面超大的结论. 这显然与常识相违背 ,要么看到5的时候胜率不是10/11要么常识有问题,

采纳 最开始 ID为 农药中学生 的评论:

我最初认为这是无限导致的问题。因为我们所熟知的概率实际上是初等概率,而极限中的概率悖论产生的原因通常涉及到高等概率论(测度论),例如ross-littlewood paradox,门外汉根本搞不懂。

但我开始考虑这道题的有限版本时,发现文中提出的问题并没有消失。简化版本:我们只有四种牌,1张1/2,2张2/3,3张3/4,4张4/5,5张5/6,一共15张牌。现在甲方看到的是3,他开始思考,他面前的基本事件是有限且等概率的,因此适用古典概型,那么可以得出他获胜的概率是3/5,赢面较大。
我们可以看到,在简化了原贴中的问题之后,悖论依然存在。无论乙方看到的是2还是4,他实际上都可以用古典概型计算出来自己的赢面较大,但这是不可能的。

下面我尝试解释一下我理解的这个“悖论”的产生原因。为了不与极限扯上任何关系我讲我举的这个有限版的例子。

很显然我们知道,A事件发生的概率+A的补集B发生的概率=1,此时A和B互称对立事件。如果P(A)>50%,那P(B)<50%。在古典概型里,计算两个对立事件的概率时,基本事件总个数(分母)是必须相等的。

在简化版题目中,甲方看到3的等事件并不是乙方看到2,也不是乙方看到4。乙方的牌是一个概率,他有0.4的可能是2,0.6的可能是4。所以在甲方看来,乙有60%的可能输掉,这个总事件个数为5。

我们代入乙方进行思考的时候,问题出现了。你认为乙方是0.4的可能是2,0.6的可能是4,没错,但这0.4的可能性是2/3中的2,不包括1/2中的2,同样,0.6的可能性是3/4中的4,不包括4/5中的4。

因此,甲看到3这个事件的相等事件并不是乙看到2,也不是乙看到4,也不是乙40%看到2并60%看到4的组合,而是乙40%看到2/3牌中的2并60%看到3/4牌中的4。

但乙本身并不知道这一点。所以乙考虑的是,我看到2,我赢面大,我看到4,我赢面大。不管看客替乙计算的时候,是否考虑到乙遭遇的情况是一个组合,在乙看来,总事件的个数都不是5。

两个对立事件的概率加起来肯定是1的。但既然甲看到3与乙40%看到2并60%看到4不是相等事件,那甲看到3赢和乙看到2或者4赢也就不是对立事件了。这就不妨碍他们俩都觉得自己赢面大。
事实上,我举的这个例子和原文的例子中,你看到1,你觉得赢面大;你看到2,赢面大,如此,直到看到最后一个数,你知道自己输定了。所以,不管牌翻开是啥,只要不是最后一个数,双方都觉得自己赢面大,是正常的。
他们的输赢结果是对立的,他们俩看到牌之后思考的各种情况的归总却不是对立的。随着自己看到的牌不同,考虑的古典概型中的分母—-也就是总事件个数—-是不同的。

原文的例子难的地方在于没有最后一个数。因此不管是哪张牌,双方总是觉得自己赢面大。

希望我的上述解释基本无错。就我的经验而言,概率是最容易犯错而不自知的题目之一,越自信的人越难以发现自己的错误。20年前的水木清华里面,一小半清北,剩下的渣渣都是985,因为没几个学校宿舍通校园网啊。我作为弱者经常看他们吵三门问题,生男生女问题,一边吵一边秀IP地址,报专业报学校报高考成绩,非常喜感而滑稽。为什么这么厉害的学生也为中学的入门级问题吵架呢?对了,一个月前,他们还吵天气预报概率问题,唯一的变化是现在不报高考成绩了。当然,比贴吧好多了,贴吧最喜欢的问题是0.9循环是否等于1。总之,不要在概率问题上对自己太自信。


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