@ 2019.11.12 , 20:18

刚刚证明了负曲率空间下的Cartan-Hadamard猜想

传说,大约在公元前900年,腓尼基公主狄多(Dido)受她的邪恶兄弟迫害,逃往了非洲。根据维吉尔(Virgil)在《埃涅德纪》(Aeneid)中的记载,公主向当地国王购买土地,作为自己和追随者的新家园。国王贾尔巴斯(Jarbas)说,好,我送给你一块土地——用整张牛皮围起来那么大。

聪明的公主把生皮切割成极细的条,将它们首尾相接,并以地中海沿岸作为一条边,围成一个直径尽可能大的圆——这块土地就成了后来的迦太基。

在欧几里得平面上,周长相等的封闭图形,圆的面积最大。这一直观上看似显然的命题,后来成为了变分法和最小作用量原理的根基。

长达数年的努力,克服了一个个意料之外的阻碍,度过了无数不眠之夜,约翰·霍普金斯大学的数学家乔尔·斯普鲁克(Joel Spruck)和他的同事最近成功地证明了上述命题在负曲率空间上的等价物。

负曲率空间是黎曼几何学上的概念,传统的欧式空间是平直的,曲率为0。顾名思义,负曲率空间的曲率小于0。其上的三角形内角和小于180°。

斯普鲁克说:“存在许多可能的形状,但自然界会选择所需能量最低的形状。”因此,固定周长可以围住最大区域形状是圆,三维的时候,则是球。

很简单。但是,如将上述概念推广到更为复杂的情况时,事情就变得棘手起来。斯普鲁克和同事直面这一挑战,成功地证明了在18世纪提出的数学猜想,即相同的原理对其他几何同样适用。

它相当于证明了负曲率空间下的Cartan-Hadamard猜想。早在1926年,我们就对2维空间给出了证明。1984年,4维空间;1992年,3维空间;然后所有其他维度。

负曲率空间就像鞍面,更少的空间中包含更多的区域。想想花瓣或珊瑚礁。宇宙也可能是负曲率的,但我们还无法确定。

无边界的负曲率空间被称为Cartan-Hadamard流形,斯普鲁克和他的同事在所有维度上证明这一猜想。

论文近80页。斯普鲁克说:“这很困难,因为我们必须从头开始;不存在现成的工具和预备知识。”他和他以前的学生Mohammad Ghomi并肩作战,后者是古典几何学专家,拥有博士学位,于1998年毕业于佐治亚理工学院数学学院。

“数学就是将想法具现化:把直觉变成严格的论证。我们梳理思路时,总是存在矛盾之处……超级痛苦,欲生欲死。”

最终,他们得到了缪斯女神的青睐,意外地借助数学上其它分支的某个定理越过了障碍。

斯普鲁克说:“我们死了一千遍,然后又活了过来。你有一种感觉,诸神拯救了你。”

想法、猜想、证明,这是数学发展的经典过程。人们对某个问题有深刻的见解,尽管没有足够的证据支持这一点,但他们会默认那是真理——称之为猜想。数学家分享猜想,并从其他数学家那里获得反馈,他们相互挑战并切磋思想。“这就是数学领域比其他领域发展得更快的原因。”

本文译自 phys,由译者 majer 基于创作共用协议(BY-NC)发布。


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