@ 2019.10.17 , 11:00

脑力小体操:爱丁顿的概率习题

枯燥使人麻木,挫磨去头脑的锋锐……大家在摸鱼的时候,偶尔拉抻一下智力肌肉,以免头脑陷入昏沉迟钝的状态。在这里,恰好有一道有趣又不失严肃的题目,大家不妨小试牛刀,养护智力上的锋锐之气。

这回说到了亚瑟·斯坦利·爱丁顿(Arthur Stanley Eddington,1882年12月28日—1944年11月22日),他是英国天文学家、物理学家、数学家,第一位用英语宣讲相对论的科学家,自然界密实物体的发光强度极限被命名为“爱丁顿极限”。

不过爱丁顿最著名的功绩,大概是率领观测队前往西非普林西比岛观测1919年5月29日的日全食,拍摄到了日全食时太阳周围的星星,根据广义相对论理论,太阳的重力会使光线弯曲,太阳附近的星星视位置会变化。爱丁顿的观测证实了爱因斯坦的理论,立即被全世界的媒体报道。

曾有记者问爱丁顿说:“据说全世界只有三个人真正懂得相对论,而您就是其中一位,教授,那是真的吗?”爱丁顿闻言陷入沉思。记者忍不住催促道:“或者您也不能完全理解相对论?”爱丁顿摇了摇头,说:“我只是在思考,第三个人是谁?”

话说有一天,爱丁顿在自己写的《new pathways in science》一书中,信手改编了一道概率谜题。“如果甲乙丙丁每个人,都只有1/3的时间会说实话,而现在,甲肯定了乙对丙声称丁是说谎者的否定,那么丁讲真话的概率是多少?”

上面那个问题没看懂?好,详细解释一下。如果丁说:“方丈□□小!”然后,丙说:“小丁在说谎!”不料,乙怒斥丙:“你才在说谎!”最后甲说:“乙说得是真话。”已知,每个人说真话的可能性都是1/3,现在问你,丁最开始说得是真话的概率是多少?

爱丁顿认为题目很简单,随手指出答案是25/71,并省略了过程。

结果却遭到了读者的强烈反对,同为英国物理学家的丁格尔(Herbert Dingle)在1935年的3月的《nature》上公开发表评论,称此题毫无意义,完全是爱丁顿自己对概率理解混乱的产物,大家无需理会此题。

美国的物理学家斯特内(Theodore Sterne)在同年6月,通过《nature》回应说,爱丁顿的问题不是毫无意义,只是表述的不够清晰。

丁格尔在9月的《自然》上据理力争,说即便承认斯内特的方法,那么答案显然只能是1/3!

那个年代,爱丁顿是恒星结构与演化的最大权威。不过,在天文学的历史上,他的角色并不光彩。他因个人好恶,在学术上打压后来的恒星理论开创者苏布拉马尼扬·钱德拉塞卡(Subrahmanyan Chandrasekhar,1910年10月19日——1995年8月21日),成为无法洗刷掉的污点。

钱德拉塞卡借助量子力学中的泡利不相容原理推导出了惊人的结论:白矮星的质量上限不会超过太阳的1.44倍。否则,白矮星内部的电子简并压力就无法再抗衡自身的引力,导致塌缩。这就是著名的钱德拉塞卡极限。

然而,宇宙中有许多质量远远大于太阳的的恒星,不可能都小于钱德拉塞卡极限。所以对大质量恒星来说,引力将把电子压缩进原子核,最终恒星都被压成一个没有大小的点。这对当时的天文学界来说,是一件荒谬透顶的事情。

在1935年的一次英国皇家天文学会会议上,爱丁顿公开羞辱钱德拉塞卡;他称泡利不相容原理根本不能被用来研究白矮星。事后泡利听闻此事,嘲笑爱丁顿是一个完全不懂量子力学的蠢货。但泡利也不愿直接出面得罪爱丁顿。

回到最开始的概率练习题,随着争吵越来越大。爱丁顿最终无法保持淡定,在《数学学报》(The Mathmatical Gazette)上发表了论文,详细解释了他是如何得到25/71这个答案的。

最终,这场论战以两篇上述杂志的后续文章告终。一篇支持艾丁顿,另一篇则提出了一个和前面所有人都不同的答案。

数十年后,史上最杰出的科普作家马丁·加德纳偶然翻到了这段历史,他给出了自己的答案13/41。

加德纳的思路与爱丁顿相同,只不过爱丁顿确实计算错了。

他们和丁格尔都是如何思考的呢?为什么会产生如此之大的差异?

  • 是这样的,按丁格尔的逻辑,先假设甲说的是真话,而按照最上面的黑体字,甲说:“乙说得是真话。”则因此乙说得也是真话——这是由假设得到,类似地,通过乙所说的内容,进一步知道丙所说的内容为真或为假。最终,我们发现,甲所言说内容的真假,足以决定前面所有语句的真假!所以呢,丁撒谎的概率,完全由甲是否撒谎的概率来决定。
  • 爱丁顿和加德纳的思路则是,用命题演算来表示,原始题目看做是复合命题:甲≡(乙≡(-丙≡丁)),-号代表否命题。 实际所求是,保证上述复合命题为真的情况下(因为上述命题关系是真实出现在题干中的,所以应该为真),命题丁为真的概率是多少?
  • 这样一来,只要画出真值的分支图,就能轻易得到答案。

    如果您看到了这里,又支持哪种理解方式呢?


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