@ 2018.09.28 , 13:00

莫比乌斯特性真迷人

作者:David Gunderman and Richard Gunderman/The Conversation

莫比乌斯特性真迷人
Credit:HW

你在日常生活中其实已经遇到过无数次单面物体了 - 就像印在铝罐和塑料瓶的背面回收的通用符号那种,三个箭头弯折,首尾相连。

这个数学对象称为莫比乌斯带。自德国数学家奥古斯特·莫比乌斯(August Möbius)于1858年发现这个东西以来,它一直吸引着环境保护主义者、艺术家、工程师、数学家以及许多其他领域的人。

莫比乌斯在1858年发现了这种只有单边的带形结构,当时他担任莱比锡大学天文学和高等力学的主席。(另一位名为利斯廷的数学家在几个月前也描述了它,但直到1861年才发表他的发现。二人独立发现。)莫比乌斯似乎是在研究多面体的几何理论时搞出了莫比乌斯带。

莫比乌斯带可以通过一条纸条来做成,把一头转180度,然后将两端粘在一起形成一个环。如果你拿一支铅笔沿着条带的中心画一条线,你会发现这条线走完了原来纸条的两面。

莫比乌斯带不仅仅是一个令人惊讶的东西。例如,用一把剪刀将带子沿着刚绘制的线条剪成两半,不会变成两个莫比乌斯带,而是会出来一个较长的双侧环。

虽然莫比乌斯带具有视觉吸引力,但其最大的影响在于数学。

拓扑学家研究在移动、弯曲、拉伸或扭曲时保留的物体的属性,而无需将部件切割或粘合在一起。例如,一对缠结的耳塞在拓扑意义上与未缠绕的一对耳塞相同,因为将一个耳塞更换为另一个只需要移动,弯曲和扭曲,不需要切割或粘合来在它们之间进行转换。

另一对在拓扑上相同的物体是咖啡杯和甜甜圈。因为两个物体都只有一个孔,所以只需拉伸和弯曲就可以使这个孔变形。

物体的孔数是可以仅通过切割或胶合来改变的性质。这个属性 - 被称为物体的“亏格” - 允许我们说一对耳塞和甜甜圈在拓扑上是不同的,因为甜甜圈有一个洞,而一对耳塞没有洞。

但莫比乌斯带和一般的双面环都有一个洞,所以只有这一个属性不足以区分它们 - 至少从拓扑学家的角度来看。

相反,区分莫比乌斯带和双面环的属性称为“可定向性”。与其孔数一样,物体的可定向性只能通过切割或粘合来改变。

比如你在透明胶带上写一行字,只要在这个平面之上,这行字都是从左到右方便阅读的,但如果在一个不可定向的平面上,比如莫比乌斯胶带,这行字可能看着看着就反了。

由于莫比乌斯带是不可定向的,而双面环是可定向的,这意味着莫比乌斯带和双面环在拓扑学上是不同的。

可定向性这一概念具有重要意义。比如化学,一些化合物具有相同的化学结构,除了一个关键的区别:它们是彼此的镜像。例如,L-甲基苯丙胺是医用药物成分,而其镜像物质 D-methamphetamine 则是A类非法药物。如果我们生活在一个不可定向的世界,那么这些化学物质就难以区分。

莫比乌斯的发现开辟了研究自然世界的新方法。拓扑研究一直在产生令人惊叹的结果。例如,去年,拓扑结构使科学家们发现了奇怪的物质新状态。今年的菲尔茨奖章授予给了 Akshay Venkatesh,这位帮助将拓扑学与数论等其他领域相结合的数学家。

本文译自 popsci,由译者 HW 基于创作共用协议(BY-NC)发布。


支付宝打赏 [x]
您的大名: 打赏金额:
已打赏蛋友(1): 强强强
赞一个 (13)