@ 2018.06.19 , 12:00

价值百万美元的数学难题

2000年5月,克莱数学促进会(CMI)为了激励与荣耀当今的数学家们,宣布为七个著名的数学问题各开出100万美元的赏格。

价值百万美元的数学难题

当然,从某种意义上来说,CMI的悬赏也不过是锦上添花。毕竟,这七个问题足以粗略勾勒出下个世纪数学研究整体的面貌和版图,如果你成功解决了任何一个,就要面对各国科学院雪花般的邀请函。如果你同意担任某所大学的荣誉教授,他们会觉得面上有光。你的母校会在校园里为你塑一座半身雕像,充当鸽子、麻雀的公厕……谁又能拒绝这等荣誉呢?比尔·盖茨、扎克伯格和马云建立的科学发现基金,会忙不迭地把300万美元塞到你的手里,然后转身就走,唯恐你自命清高后悔接受他们的奖金。

事实上,他们还真不是杞人忧天。千禧年七个百万难题中,如今唯一被解决的就是所谓的庞加莱猜想。2002年左右,俄国数学家佩雷尔曼石破天惊地在预印本网站上贴出一篇证明梗概的长文,并且表示希望到06年的时候能有人做出评价。普林斯顿的几位数学家花了差不多3年的时光厘清证明的细节,终于确认,佩雷尔曼的证明是完整无误的。随后,当科学界急切地要把各种荣誉加诸其身的时候,佩雷尔曼砸了电话,搬到了林中的小屋,过起了当代隐士的生活。他目前唯一接受过的荣誉是国际中学数学奥林匹克金牌。

当然,虽说巴西踢平之后,大家普遍手头紧张,不想放过每一个赚取百万的机会,还是先得知道问题是个啥。

下面简要地介绍一下,剩下的六个百万难题。

1.P=NP?算法学界的永动机

斯大林曾经说过:“数量本身就是一种质量。”

想一下在3×3的棋盘上玩围棋,以及19×19的棋盘上玩围棋的不同感受,或许你就会同意这位苏联领导人的灼见。

在数学和计算机科学中,存在很多问题,我们知道如何编程“快速”解决它们——基本算术,对列表进行排序,搜索数据表。

这些问题可以在“以规模为变量的多项式时间内”解决,简记为“P”。换句话说,你对10000个数字进行排序,和你对10001个数字进行排序,运算增加的时间是在一个可控的范围内。

但还有一类问题我们可以很快验证一个答案是否正确,但却并不清楚如何高效地得到答案。

寻找大数的素因数就是这样一个问题。没有已知的方法可以快速找到任意数的素因子。幸好如此,因为当今互联网的安全性正是依赖于这一事实。

由于历史和技术原因,这类问题被称为可以在“非确定性多项式”或“NP”时间内解决的问题。

现在问题来了:我们无法找出NP问题在多项式时间内的算法,到底是因为本来就不存在这种事情,还是仅仅因为我们能力不足?

如果,数学事实不是客观的,而是依赖人们的意愿与能力。那证明出NP=P——也就是说,是我们能力不足,其实存在着多项式时间的算法来解决NP问题——其影响力,就好比说我们发明出了永动机!算法和逻辑科学领域中的永动机。

当然,因为上帝不会对我们这么好——永动机并不存在,所以数学家普遍的看法是NP≠P!

另外值得注意的是,数学界有另一个普遍的猜测,NP≠P大概会是最有可能在未来几年出现重大突破的问题。雄心壮志的同学可以一试。

2.Navier-Stokes方程:流体力学中拼图中缺失的最后一块

你打开水龙头时,你搅拌咖啡中的奶油时,我们现在的科学甚至都无法解释如此常见情景中经历的物理变化。

Navier-Stokes方程是牛顿运动定律的流体动力学版本。他们描述了在各种条件下液体或气体将如何流动变化。

从19世纪,法国科学家Navier和英国数学家Stokes提出了该方程以来,它在大气运动、洋流分析、石油勘探、水利工程乃至心血管疾病诊断之中发挥了愈发重要的作用。

除了一个问题,数学家至今无法证明这一方程是有解的!

当然,我们确定它肯定是有解的,因为它是我们是从现实中的物理现象中抽象出来的纯粹数量关系。你拧开水龙头,或是搅拌咖啡中牛奶,就相当于找到了一组特殊的解……

这是一个非常重要,看似简单实则极其困难的问题。有大量的数学家和工程师致力于解决这一问题。暂时看不到路在何方。

3.带有质量缺口的杨—米尔斯规范场论:量子力学版的麦克斯韦方程

稍微熟悉点物理学的人都应该明白麦克斯韦方程的重要性。

就像是牛顿三大定律奠定了经典力学的根基,经典电磁学就建立在麦克斯韦方程组之上。实际上,狭义相对论本身也是麦克斯韦方程组进一步推导出的结果。值得注意的是,通过麦克斯韦方程组实际上推导出了一种没有静止质量的粒子——光子。

当年轻的杨振宁和他的室友米尔斯,通过类比麦克斯韦方程组,得到了可以解释强力和弱力性质规范场论的时候,也自然的得到了某种类似光子没有质量的粒子!

随后,杨振宁在泡利、奥本海默等一群大佬面前上台介绍自己的成果,期望得到他们的首肯时,泡利一针见血的提问道:“你这个理论是不是预言了某种没有质量的粒子啊?”

杨振宁低声说:“是。”

泡利站起来,“大家都散了吧,后面的不用听了。”

幸亏对杨振宁青眼有加的奥本海默一把按住了泡利,说:“听一听年轻人的构想也无妨嘛。”

当然,泡利不是要故意刁难,毕竟现在也没有人能观察到没有质量的胶子。不过随着规范场理论在应用上的巨大成功,物理学家逐渐认可了这一概念。

现在唯一的问题就是,规范场理论应该能通过理论推导出电子的质量,但是迄今为止,没有哪位物理学家和数学家能做到这一点!

据说目前并无太多学者尝试攻克质量缺口问题,因为物理学家觉得这是一个数学问题,毕竟他们早已通过实验测量出了电子的质量;而数学家……也认为这是一个数学问题,但是太难,物理背景又忒刺眼。咳咳

4.黎曼猜想:数学界中的明星

数学界中的明星,也是公众中最知名的数学猜想之一。

在数学中,自然数的重要性无与伦比。因为,实际上我们真正能计算的就是自然数!

根号2和π一样,只是一个符号。我们只是大致知道它们的前几位数。

我们真正能把握的只有自然数和它们的四则运算。所以,自然数的基本单位——素数,也在数学领域中获得了显赫地位。

黎曼猜想就是指出,某个复平面上的解析函数,可以刻画出所有的素数!

半个世纪前,数学家Weil在有限域上证明了黎曼猜想!仿佛给数学界打了一针强心剂。如今,有海量的学者和民间爱好者正试图攻克这一难关。

曾有数学家开玩笑说,证明了黎曼猜想的人将获得不朽,而证否了黎曼猜想的人,会当场去世,来不及写出自己的证明。

想要对黎曼函数,复平面解析等概念产生感性认识,可以点击此处链接

5.Birch-Swinnerton-Dyer猜想:椭圆曲线上的大秘密

丢番图方程是数学研究中最古老和最广泛的对象之一。就像之前提过的,整数最有价值,我们多么想要找到多项式方程的整数解啊。

许多人都知道的最经典的例子是勾三股四玄五。它们就是方程
X^2+y^2=z^2的一组整数解。

近年来,代数学家特别研究了椭圆曲线,它由特定类型的丢番图方程所定义。这些曲线在数论和密码学中有重要的应用。

前沿、高端、热气腾腾,满含希望的研究领域,值得有识之士的加入。

6.霍奇猜想:不适合心理脆弱的人

该猜想在各个意义上都难到令人绝望(包括对它做科普),实际上它的正式表述:

一个非奇异射影代数簇上的每一个调和微分形式都是代数闭链上的上同调类的一个有理组合。

一般来说,要想自然的说出上面这些话,就需要一个数学专业的博士学位。所以,有特殊需要的朋友可以背下来以备不时之需。

虽然这一猜想如此可怕,但它的出发点其实非常的简单。我们人类的思想方法,说来说起也就那么几个。

为了掌握复杂的事物的性状,我们或是把它拆解成简单的组成成分,或者是用简单的部分来逐渐逼近它。

霍奇猜想,就是后面的思路。它指出存在某种方式,可以用相对来说简单的几何构件一点点地拼接出高维度中超级复杂的几何对象。

部分引用了
本文译自 sciencealert,由译者 majer 基于创作共用协议(BY-NC)发布。


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