@ 2017.12.30 , 12:00

来自中国的数学家证明了44年前的重要猜想

以色列理工学院的Jiang姜子麟和莫斯科物理技术研究所(MIPT)的Alexandr Polyanskii解决了LászlóFejesTóth的条形覆盖猜想。它于1973年被提出,含义是说,如果一个单位球体的表面被几个条形区域完全覆盖,则所有条状区域的总宽度至少是π。给出这一猜想的证明,将推动离散几何和组合几何领域近一步向前发展。

离散几何学研究点、线、圆、多边形和其他几何对象的组合属性。这一领域中的问题往往具有,直观上相对显然,但是很难对其进行严密的数学论证的特点。比如说,在边长为10个单位的立方体容器中,最多可以容纳多少个单位球体?

看起来,好像在每一层方方正正地铺满球,就能得到所需的答案。但是,实际上,这个问题就是有名的开普勒装填球猜想。

上面提及的装填方法,所有球心就像是晶体中的格点,所以也叫晶体式填充法。事实上,数学家发现,其他的不那么对称的方法至少是和晶体法具有一样的效率。

1998年,美国密芝根大学的黑尔斯借助电脑,解决了开普勒的猜想。论文长达250页,外加3Gb的电脑程序,这些直接导致数学界长时间未对黑尔斯的证明进行检验,黑尔斯本人迟迟未获得应用的荣誉。

像条形覆盖猜想以及开普勒猜想这样的问题,具有广泛的现实意义。它们对区域规划理论、纠错码、乃至智能翻译的设计都有指导意义。我们可以将某段外语语句看作是高维度的球体,比如说在英语中就可以用26个维度作为坐标来确定一个单词。

在这种语境下所谓的覆盖,可以理解成使用汉语库里的单位构件进行替换,包含它所有可能的语义。这一猜想就可以被用来确定翻译时,需要替换语句的长度一类的信息。

除此意外,离散几何对化学、生物学和计算机科学以及物流系统的发展都是至关重要的。

而在数学上,板条覆盖猜想与离散几何中的一些其他问题密切相关,这些问题在二十世纪就已被解决。首先就是是所谓的条形板覆盖圆盘的问题。著名的数学家阿尔弗雷德·塔斯基(Alfred Tarski)和亨利克·莫伊斯(Henryk Moese)提供了一个简单的证明,指出这些条带或木板的组合宽度不能小于圆盘的直径。也就是说,和我们直观的看法是一致的。然后,ThøgerBang解决了用条带覆盖任意凸多边形的问题。也就是说,他证明了覆盖多边形的条带的总宽度至少是多边形本身最小的宽度。

来自中国的数学家证明了44年前的重要猜想
塔尔斯基证明,一个半径为1的圆不能完全被宽度小于2的条形区域所覆盖。Credit:MIPT

最新的证明,需要处理的问题要更加复杂,因为它涉及覆盖一个3维的单位球体的表面。形象的说法,这里使用的板条就像是削苹果皮时,那种带弧度的长条状。

Jiang和Polyanskii的思路受Bang的启发,使用了反证法。对FejesTóth条形覆盖猜想,数学家先假设完全覆盖球体的条形的合并宽度小于π,然后从假设和已知的数学定理出发进行推理,最终找到矛盾点——即球面上出现了一个点,它不在任何的条形覆盖之下,与最初的假设矛盾。

思路说起来容易,实际上用于证明过程却很难。两位作者一开始退而求其次,指出在三维空间中存在一个坐标,无法被制定宽度条形所覆盖。然后,他们论证这种点如果位于球体内部,那么在对应的在球体表面上也应该存在无法被覆盖的点。但是,他们不能保证这样的例外的点一定在球体内部,所以,又需要努力攻克之外的情况,最后他们尝试对球体进行某种变换,而不会影响结论。因此,当球包含了原本在外的点时,就归结到前面的结论,内部点对应表面的点。最终,得到我们想要的矛盾。

Polyanskii 说:“40多年来,我们解决的问题已经消耗了该领域数学家们的太多精力。最终,很幸运地,我们找到了这个问题的一个优美的解答。成功证明Fejes Tóth 猜想也会促使我们去思考更基本的假说。”

更多信息:Zilin Jianghis runs counter to the hypothesis that the combined width of the zones is less than π, proving Fejes Tóth's conjecture.(2017)。 DOI:10.1007 / s00039-017-0427-6

本文译自 phys,由译者 majer 基于创作共用协议(BY-NC)发布。

姜子麟,现为以色列理工学院数学系的博士后。姜博士生于上海,本科毕业于北京大学,后于美国卡内基梅隆大学完成博士学位。姜博士的研究领域包括离散几何与极图理论,是位热爱滑雪等运动的年轻数学家。更多姜博士的相关信息可参考:math.cmu.edu/~zilinj


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